Figure sans paroles #4.5.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.5.3

    le 15 avril à 23:47, par Sidonie

    Un triangle ABC. On trace son cercle inscrit avec D, K et L points de tangence ainsi que le cercle exinscrit opposé à A avec E point de tangence avec (BC). La bissectrice issue de A coupe (BC) en H. M est le milieu de [BC].
    La perpendiculaire à (AH) passant par B coupe (AH) en F et (AC) en I.
    La perpendiculaire à (AH) passant par C coupe (AH) en G et (AC) en J.
    Il s’agit de prouver que D,E,F et G sont cocycliques.

    Les triangles ABI et ACJ sont isocèles donc BJ = CI =AC - AB.

    BD = CE (propriété des cercles inscrit et exinscrit)
    d’où DE= CD - CE = CD - DB = CL - BK = CL + LA - BK - KA =AC - AB

    Remarque : l’égalité ci dessus prouve que D est sur l’hyperbole de foyers B et C passant par A ce qui donne une autre démonstration.

    On trace le cercles de centres B et C et de rayon BJ = CI = DE.

    F est le milieu de [BI] M est le milieu de [DE]

    L’homothétie de centre B et de rapport 0,5 transforme le cercle de centre C en un cercle de centre M et de rayon 2 fois plus petit c’est à dire que [DE] est un diamètre. L’homothétie transforme I en F qui est donc sur le cercle de centre M.
    L’homothétie de centre C fera le même boulot pour le point G.

    Document joint : fsp_4.5.3.jpg
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