Figure sans paroles #4.5.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.5.10

    le 5 juin à 10:03, par Sidonie

    D et E sont les centres des cercles exinscrits opposés à C et B du triangle ABC. F,G,H et I,J,K sont les points de tangences avec (BC),(AB),(AC). (FH)$\cap$(IJ)=N. (FH)$\cap$(IK)=M. (IJ)$\cap$(FG)=L. (FG)$\cap$(IK)=P. R est le milieu de [PN].
    Il faut démontrer que N et P sont sur la hauteur de ABC passant par A.
    $\widehat {ABC}$ angle extérieur au triangle isocèle BFG vaut 2 fois l’angle de base et (BE) est la bissectrice intérieure de $\widehat {ABC}$ donc $\widehat {GFB}$ = $\widehat {EBC}$ et (FL)//(BE).
    (BE) bissectrice du triangle isocèle BIJ est aussi médiatrice de [IJ] donc (FL)$\bot$(IJ).
    Le même raisonnement conduit à (IK)$\bot$(FH).
    Dans le triangle FIN P est l’intersection des 2 hauteurs (FL) et (IM), c’est donc l’orthocentre et (NP) est la troisième hauteur donc (NP)$\bot$(BC).
    Dans le 4.5.9 on a vu que (AP) était parallèle au rayon du cercle inscrit perpendiculaire à (BC) donc (AP)$\bot$(BC) et A, P et N alignés sur la hauteur passant par A.

    Document joint : fsp_4.5.10.jpg
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