Figure sans paroles #4.5.20

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.20

    le 5 décembre 2020 à 17:26, par Hébu

    Un triangle $ABC$, son cercle inscrit, de centre $D$, qu’on appellera $(c)$. Un point $E$, sur la bissectrice issue de $B$, tel que $(BE)$ et $(CE)$ sont perpendiculaires. Depuis $D$, une perpendiculaire à $(AE)$ coupe celle-ci en $F$.

    La bissectrice issue de $B$ coupe le cercle inscrit en $G$ et $H$.

    Il faut montrer que les points $A, G, H, F$ sont cocycliques.

    .
    Je note $J, K$ les points de contact du cercle inscrit avec $AB$ et $AC$.
    Le cercle de diamètre $AD$ passe par $F, J, K$ (angles droits) et donc $\widehat{JKD}=a/2$ ($a$ étant la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$). Je nomme $(c_1)$ ce cercle.
    .

    Un autre cercle passe par $C,D,K,E$ (son diamètre est $CD$, angles droits en $E, K$). Je l’appelle $(c_2)$.
    On en déduit la valeur de l’angle $EKD$ : $EKD=\pi-ECD=\pi-a/2$ et $JKD+EKD=\pi$ : les points $E,K,J$ sont alignés.

    .
    Je nomme $(c_3)$ le cercle passant par $A, G$ et $H$.

    .
    La droite $(BE)$ est l’axe radical des cercles $(c)$ et $(c_3)$. La droite $(EJ)$ est l’axe radical des cercles $(c)$ et $(c_1)$.

    $E$ est le centre radical des trois cercles $(c), (c_1), (c_3)$, ce qui implique que $(AE)$ soit l’axe radical de $(c_1)$ et $(c_3)$. Et par conséquent que $A$ et $F$ (les intersections de $(c_1)$ avec la droite) doit se trouver sur le cercle $(c_3)$ : $A,G,H,F$ sont cocycliques

    Document joint : idm4-5-20.jpg
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  • 4.5.20

    le 6 décembre 2020 à 17:21, par Hébu

    Il faut remarquer que la propriété « E, J, K » alignés a déjà été rencontrée, figure 4.5.4 (et peut-être ailleurs)

    Répondre à ce message

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