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Figure sans paroles #4.5.26

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.26

    le 21 février à 10:46, par Reine

    Cette figure propose un triangle $ABC$, et un cercle, de centre $I$, tangent en $A'$ à $BC$, en $B'$ à $CA$ et en $C'$ à $AB$ (sur la figure proposée il s’agit du cercle inscrit, mais ce pourrait aussi bien être un cercle ex-inscrit). Appelons $M$ n’importe lequel des deux points où $AI$ rencontre le cercle et $P$ (respectivement $Q$) l’intersection de $A'\mkern-2mu C'$ et $BM$ (respectivement $A'\mkern-1mu B'$ et $CM$). La droite $PQ$ est-elle perpendiculaire à $AI$ ?

    La tangente en $M$ au cercle rencontre $A'\mkern-2mu C'$ en $U$ et $A'\mkern-1mu B'$ en $V$. Cette tangente $UV$ est aussi la polaire de $M$ par rapport au cercle ; celle de $B$ étant $A'\mkern-2mu C'$, $U$ est conjugué de $M$ et de $B$, et donc aussi de $P$ (situé sur $BM$). Il s’ensuit que la division $(A',\,C',\,U,\,P)$ est harmonique, d’où $\,\overline{\!PA'\!\!}\,\,/\,\overline{\!PC'\!\!}\,\,=-\,\overline{\!UA'\!\!}\,\,/\,\overline{\!UC'\!\!}\,\,$. Mais, $UV$ et $C'\mkern-2mu B'$ étant parallèles (car perpendiculaires à $AI$), ceci vaut aussi $-\,\overline{\!VA'\!\!}\,\,/\,\overline{\!VB'\!\!}\,\,$, ou encore $\,\overline{\!QA'\!\!}\,\,/\,\overline{\!QB'\!\!}\,\,$, car $(A',\,B',\,V,\,Q)$ est, elle aussi, harmonique. Ceci montre que $PQ$ est parallèle à $C'\mkern-2mu B'$, donc perpendiculaire à $AI$.

    Document joint : figure-4-5-26.pdf
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