Figure sans paroles #4.5.38

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.38

    le 20 décembre 2020 à 17:05, par Hébu

    deux cercles, de centres $A$ et $B$, leurs tangentes extérieures $(d)$ et $(d')$. Un point $C$ sur $(d)$, à partir duquel sont menées deux autres tangentes aux cercles $(A)$ et $(B)$. La tangente à $(A)$, $(e)$, va couper $(d')$ en $D$, la tangente à $(B)$, $(f)$ en $E$.

    Un troisième cercle, centre $F$, sera tangent à $(e)$, $(f)$ et $(d')$.

    Alors, les points $A, C, B, F$ sont cocycliques.

    .
    Les points $F$ et $A$ sont les centres des cercles tangents aux droites $(e)$ et $(f)$, ce qui implique l’alignement de $A,D,F$ ($D$ est le centre de l’homothétie qui les relie). Même chose, côté $F,B,E$ qui sont eux aussi alignés.

    .
    On calcule les angles $\widehat{CAF}$ et $\widehat{CBF}$, et on montre qu’ils sont supplémentaires.

    J’appelle $P$ le point d’intersection des droites $d$ et $d'$ et je note $w$ l’angle $(d,d')$.

    Dans le triangle $PCD$, l’angle $\widehat{CAD}$ s’écrit $\pi-(\widehat{C}+\widehat{D})/2$, soit $\widehat{CAD}=\pi/2+w/2$

    Dans le triangle $PCE$, $B$ est le centre du cercle exinscrit, et $\widehat{EBC}=\pi-\widehat{BEC}-\widehat{BCE}=\pi-(\widehat{HEC}+\widehat{KCE})/2$. Et $\widehat{HEC}+\widehat{KCE}=2\pi-(\widehat{PEC}+\widehat{PCE})=\pi+w$.

    .

    De sorte que finalement $\widehat{EBC}=\pi/2+w/2$, et $\widehat{CAD}+\widehat{EBC}=\widehat{FAD}+\widehat{FBC}=\pi$ : les points $F,A,C,B$ sont cocycliques.

    .

    Document joint : idm4-5-38.jpg
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    • 4.5.38

      le 1er janvier à 20:35, par Sidonie

      Bonjour et recevez tous mes vœux pour cette nouvelle année, puisse-t-elle être meilleure que la précédente.
      Je m’aperçois à postériori qu’en postant le 4.5.39 je donne une autre démonstration du 4.5.38 et je vous sais friand des démonstrations alternatives.
      J’ajoute une curiosité les bras de tangentes de C vers le cercle (F) ont la même longueur que les bras des tangentes communes aux cercles (A) et (B). Cette fois j’évoque le 4.5.40 : il suffit de faire se rapprocher deux sommets du quadrilatère pour faire apparaître à la limite la figure du 4.5.38.

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      • 4.5.38

        le 2 janvier à 11:28, par Hébu

        Je vous remercie pour ces vœux, et vous adresse les miens en retour, la souhaitant effectivement moins chaotique et plus sereine !

        J’apprécie cette variante sur la preuve — en m’apercevant que, malgré les résolutions que j’avais prises, je ne fais toujours pas usage des angles de droites (je me donne une excuse, n’ayant pas tout à fait intégré la difficulté à diviser par 2...).

        .
        J’adresse évidemment mes vœux également à toutes et tous les lectrices/lecteurs de cette rubrique, et plus généralement de ce site ! Que 2021 soit l’année de la Géométrie !

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        • 4.5.38

          le 2 janvier à 12:19, par Sidonie

          Comme souvent, vous soulevez la faiblesse de ma démonstration. En effet la mesure des angles de droites est modulo $\pi$ et donc en divisant par 2 on est en modulo $\frac {\pi} {2}$ alors que mon raisonnement nécessite un modulo $\pi$, j’ai donc utilisé des angles « normaux » et réajusté après pour que ça fonctionne mais vous êtes trop vigilant pour que ça passe inaperçu. En fait, j’utilise les angles orientés par pure paresse pour éviter MathJax. Ceci dit leur usage permet de s’affranchir de la position de C pour vous ou de A pour moi sur la droite.

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