Figure sans paroles #4.5.39

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 4.5.39

    le 1er janvier à 20:21, par Sidonie

    D est un point du côté (BC) du triangle ABC. O est le centre du cercle inscrit dans ABD. P est le centre du cercle exinscrit opposé à B dans ABC. Q est le centre du cercle exinscrit opposé à A dans ACD. La perpendiculaire à (PQ) passant par O coupe (BC) en E et (AC) en F.
    Il s’agit de montrer que E est l’orthocentre de OPQ.
    Je note a et b les angles (OP,OA) et (PA,PO).On a tout de suite (AP,AO) = (PA,PO) + (OP,OA) = a + b.
    La symétrie d’axe (OP) suivi de la symétrie d’axe (OA) est une rotation de centre O et d’angle 2a. L’image de (DC) dans cette rotation est (DA) donc (DC,DA) = 2a. De même on a (CA,CD)= 2b.
    (DO) étant la bissectrice de (DA,DB) on a (DO,DC) = (DA,DO) = $\frac {\pi}{2}$ - a.
    De même (CD,CQ) = $\frac {\pi}{2}$ - b. (QP,QO) = (CQ,CD) + (DC,DQ) = a + b - $\pi$ = a + b , les angles de droites étant à $\pi$ près .
    (AP, AO) = (QP,QO) prouve que A,O, Q et P sont cocycliques.
    (AD,AC) = (DA,DC) + (CD,CA) =$\pi$ - 2(a+b) et (AQ) étant bissectrice (AQ,AC) = $\frac {\pi}{2}$ - (a+b).
    Les angles (OQ,OF) et (QP,QO) sont complémentaires donc (OQ,OF) = $\frac {\pi}{2}$ - (a+b).
    L’égalité (AQ,AF) = (OQ,OF) montre que F appartient au cercle circonscrit à OPQ.
    Dans la symétrie d’axe (PQ) (EF) est sa propre image et (EB) a pour image (AF).
    E, intersection entre (EF) et (EB), a pour image F intersection entre (EF) et (AF).
    E est un point de la hauteur issue de O dont le symétrique par rapport à (PQ) appartient au cercle circonscrit : c’est donc l’orthocentre du triangle OPQ.

    Document joint : fsp_4.5.39.jpg
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques