Figure sans paroles #4.6.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.6.5

    le 22 juillet à 13:53, par Hébu

    On prolonge les bissectrices d’un triangle $ABC$, qui viennent couper en $E, F, G$ le cercle circonscrit. Leur intersection est le point $D. On note $H, J, K$ les projetés de $D$ sur les côtés $BC, AC, AB$. On joint alors les points $$E,H$, $F,J$ et $G,K$.

    Ces trois droites se coupent en un même point $M$.

    .
    Le triangle $EFG$ a des propriétés intéressantes. Chacun de ses angles a comme mesure la demi-somme des angles adjacents du triangle $ABC$. Par exemple, $\widehat{EGF}=(a+b)/2$. De plus ses côtés sont perpendiculaires aux bissectrices de $ABC$.

    Ainsi, $(GE, BF)=(GE,GF)+(BF,GF)=(a+b)/2 +c/2=\pi/2$.

    De ce fait, le point $D$, centre du cercle inscrit dans $ABC$, est l’orthocentre de $EFG$.

    .
    Le triangle $HJK$ a, lui aussi, ses côtés perpendiculaires aux bissectrices de $ABC$ (puisque ses sommets sont les points de tangence au cercle inscrit). En conséquence, les deux triangles $EFG$ et $HJK$ ont leurs côtés parallèles. Ils sont homothétiques, et les droites qui joignent leurs sommets homologues, $(GK), (EH), (FJ)$, concourent au centre d’homothétie ; le point $M$.

    Le cercle inscrit dans $ABC$ est le cercle circonscrit à $HJK$. Par conséquent, le rapport de l’homothétie qui fait passer de $EFG$ à $HJK$ est $R/r$, le ratio des rayons du cercle inscrit et du cercle circonscrit.

    .
    On peut présenter la figure d’une façon différente. On trace $OE, OF, OG$, les médiatrices du triangle $ABC$, et $DH, DJ, DK$. Ces segments sont parallèles deux à deux. Par exemple, $OE$ et $DH$, perpendiculaires à $BC$, sont parallèles, avec $DH/OE=r/R$. Donc $OD$ et $EH$ sont concourants, appelant $M$ l’intersection, on a $DM/OM=r/R$. Le même traitement est répété pour $OG$ et $KD$, et puisque $KD/OG=r/R$, alors l’intersection de $OD$ et $GK$ sera encore $M$, etc.

    Cela montre que les points $O, D, M$ sont alignés.

    Document joint : idm4-6-5.jpg
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