Figure sans paroles #4.7.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.7.2

    le 26 juillet à 17:43, par Hébu

    Un premier cercle, puis un second qui lui est tangent intérieurement en un point $G$. Depuis un point $A$ sur la circonférence du premier cercle on mène les tangentes au second, segments $AB$ et $AC$, tangents aux points $E$ et $F$.

    On note $D$ le milieu de $EF$ et $H$ le milieu de l’arc $BC$ extérieur au secteur $ABC$.

    Les points $G, D, H$ sont alignés.

    .
    Le dessin est la suite de la figure 4.7.1. Par excès de scrupules, je préfère vérifier qu’il est légitime de faire appel au 4.7.1 — par exemple en affirmant que $D$ est le centre du cercle inscrit.

    .
    Je note $O$ et $P$ les centres des deux cercles. Les points $O, P, G$ sont alignés. Il est clair que $AP$ est la bissectrice de $BAC$, que $AEF$ est isocèle, et puisque $D$ est milieu de $EF$, $D$ se situe sur cette bissectrice.

    Je prolonge $GF$ et $GE$ qui coupent le cercle en $M$ et $N$. Le cercle de centre $O$ est l’image du cercle de centre $P$ par une homothétie de centre $G$ et de rapport $R/r$ (les rayons des deux cercles. $PF$, perpendiculaire à $AB$ est transformé en $OM$ par l’homothétie : $M$ est donc sur la médiatrice de $AB$, de sorte que les arcs $AM$ et $MB$ ont même mesure : $BM$ et bissectrice de $\widehat{CBA}$.

    De façon analogue, $CN$ est bissectrice de $\widehat{BCA}$.

    Reste à vérifier que $D$ est bien l’intersection des bissectrices. On peut rejouer l’argument de l’hexagramme de Pascal sur $ACNGMB$, hexagone inscrit dans un cercle, qui affirmera que l’intersection de $CM$ et $CN$ se trouve sur $EF$ — au milieu du segment, puisque $D$ est sur $AP$.

    On peut donc sans crainte considérer la figure comme une << suite >> de 4.7.1 (on a une sorte de réciproque).

    .
    L’homothétie envoie $E, F$ sur $N, M$. Et donc $EF$ et $NM$ sont parallèles, les angles $\widehat{GEF}$ et $\widehat{GNM}$ sont égaux. Et dans le cercle de centre $O$, $\widehat{GNM}=\widehat{GBM}$. Finalement, $\widehat{GEF}=\widehat{GBM}$, soit $\widehat{GED}=\widehat{GBD}$.

    Cela signifie que $G, B, E, D$ sont cocycliques, et que l’angle $\widehat{DGB}=\pi-\widehat{DEB}=\widehat{AEF}$.

    Le même argument pour $G, C, F, D$, et $\widehat{CGD}=\widehat{AFE}$.

    Mais les angles en $E$ et $F$ sont égaux ($AEF$ isocèle), donc $\widehat{DGB}=\widehat{DGC}$ : $DG$ est la bissectrice de $BGC$.

    Quant à $H$, puisqu’il est milieu de l’arc $BC$, alors les angles $\widehat{BGH}$ et $\widehat{CGH}$ sont égaux : $GH$ est également la bissectrice de $\widehat{BGH}$, $GD$ et$ GH$ sont donc confondus.

    Document joint : idm4-7-2.jpg
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