Figure sans paroles #4.7.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.7.3

    le 26 juillet à 17:45, par Hébu

    C’est encore une variation sur 4.7.1 et 4.7.2 (si nécessaire, la << preuve >> en préambule du 4.7.2)

    .
    Un premier cercle $(c)$, un second qui lui est tangent intérieurement. Deux sécantes $AB$ et $AC$ issues d’un point $A$ sur la circonférence de $(c)$ tangentent le cercle intérieur en $E$ et $F$.

    Soient $R$ et $S$ les milieux de $AF$ et $AE$ et $M$ et $N$ les milieux des arcs $AC$ et $AB$.

    Alors, les points $R, M, N, S$ sont alignés.

    .

    Par analogie avec la figure précédente, je note $G$ le point de tangence des deux cercles, $O$ et $P$ leurs centres. Et évidemment $D$ le milieu de $EF$, intersection de $BM$ et $CN$.

    On sait que $BM$ et $CN$ sont les bissectrices en $B$ et $C$ du triangle $ABC$ ; on sait également que l’homothétie de centre $G$ et rapport $OG/PG/$ transforme $F$ en $M$, $E$ en $N$ et $EF$ en $NM$ : les deux segments sont parallèles. Ils sont tous deux perpendiculaires à $AP$

    .
    Une figure antérieure (la figure 4.6.1) nous offre un résultat intéressant : les segments $MA, MB, MD$ ont même longueur, de même que $NA, NB, ND$.

    Le triangle $MAD$, avec $MA$ et $MD$ égaux, est isocèle ; $MN$, sa hauteur, est en même temps médiane, et si je note $Q$ l’intersection de $MN$ et $AP$, alors $Q$ est milieu de $AD$. Et $QR$ et $DF$ étant parallèles, $R$ est milieu de $AF$ et $S$ milieu de $AE$.

    Document joint : idm4-7-3.jpg
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