Figure sans paroles #4.7.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.7.6

    le 26 juillet à 18:34, par Hébu

    Même configuration générale que pour les figures 4.7.1, 4.7.2 ou 4.7.3, enrichie cependant : Un premier cercle $(c)$, de centre $O$, et deux cercles, tangents intérieurement à celui-ci en un même point $G$. On notera $P_1$ et $P_2$ les centres de ces cercles. Un point $A$, sur la circonférence du cercle $(c)$, depuis lequel on même les tangentes aux cercles intérieurs ; on conserve une seule des deux, $AC$ qui tangentera le cercle $P_1$ en $F$, et $AB$ qui tangente le cercle $P_2$ en $E$.

    Soit $D$ le centre du cercle inscrit au triangle $ABC$.

    Alors, $D, E$ et $F$ sont alignés.

    .

    On appelle $E'$ le second point de tangence du cercle $P_2$.
    De même, $F'$ est l’autre point de tangence du cercle $P_1$.

    Je pose $N$ et $M$, intersections de $GF$ et $GE$ avec le cercle $(c)$. $BM$ et $CN$ sont les bissectrices des angles en $B$ et $C$ du triangle $ABC$.

    .
    La preuve proposée pour la figure 4.7.1 repose sur le résultat de Pascal, qui dit que les intersections des côtés opposés d’un hexagone inscriptible sont alignées.

    On peut réutiliser exactement le même argument ici.
    L’hexagone $ACNGMB$ est inscrit dans le cercle $(c)$, et les côtés opposés se croisent en $D$ ($CN - BM$), $E$ ($AB - GN$) et $F$ ($AC - GM$).

    Et donc les points $E, D$ et $F$ sont alignés. Mais $D$ n’est plus le milieu de $EF$ !

    Document joint : idm4-7-6.jpg
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