Figure sans paroles #4.8.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.12

    le 9 février à 12:28, par Hébu

    On se donne trois cercles de centres $A, B, C$, sécants deux à deux .
    Les sécantes sont concourantes en un point $V$. L’existence de ce point commun est assuré, les sécantes étant les axes radicaux des couples de cercles, et $V$ est le centre radical des trois cercles.

    On place des points $D,E,F$ sur ces demi-droites, formant ainsi un triangle $DEF$.

    On note $P,Q,R,S,T,U$ les intersections des côtés du triangle avec les cercles.

    Alors, les points $P,Q,R,S,T,U$ sont cocycliques.

    .
    $J$ étant sur l’axe radical des cercles $(A)$ et $(C)$, alors $JP*JQ=JU*JT$, de sorte qu’un cercle $(c_1)$ passant par $P, Q, U$ passe aussi par $T$.

    On peut faire le même raisonnement pour un cercle $(c_2)$ passant par $P,Q,R$ (il passera par $S$), ou un cercle $(c_3)$ passant par $R,S,T$ (il passe par $U$).

    L’axe radical de $(c_1)$ et $(c_2)$ sera la droite $(DE)$, celui de$(c_1)$ et $(c_3)$ sera la droite $(DF)$ et celui de $(c_2)$ et $(c_3)$ sera la droite $(EF)$.

    De sorte que, ces trois droites n’ayant pas de point d’intersection commun, le centre radical n’existera pas. Situation impossible, sauf si deux (au moins) des cercles sont confondus, ce qui en fait un seul cercle.

    Document joint : idm4-8-12.jpg
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