Figure sans paroles #4.8.16

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.16

    le 2 juillet à 18:51, par Hébu

    Sur le côté $AB$ d’un triangle $ABC$, on place un point $D$. Le cercle circonscrit au triangle a son centre en un point $O$, et un second cercle passe par les points $A, O, D$. Il coupe $AC$ en un point $E$.

    Les perpendiculaires, menées depuis $D$ et $E$ aux droites $(EO)$ et $(DO)$ se coupent en un point $F$.

    Il faut montrer que $F$ est situé sur $BC$.

    .
    Je note $K$ le point d’intersection de $(OD)$ et $(BC$, $J$ celui de $(OE)$ et $(AB)$. Je note $G$ (resp. $H$) les intersections de $(DF)$ et $(JE)$ (resp. $(DK)$ et $(FE)$).

    Je note $\omega$ l’angle $\widehat{BDO}$ (et $a,b,c$ les angles des sommets du triangle).

    Un cercle passe par $C, E, O$. Il coupe $(BC)$ en un point $N$. $\widehat{ONC}=\pi-\widehat{OEC}=\widehat{OEA}=\omega$ (d’ailleurs les trois angles correspondants $\widehat{ONC}, \widehat{OEA}, \widehat{ODB}$ ont comme mesure $\omega$).

    Le calcul des angles donne de suite $\widehat{OEN}=\widehat{OCN}=\pi/2-a$, et $\widehat{OEK}=\pi-\widehat{DOE}=a$. Si donc je nomme $H'$ l’intersection de $DK$ et $EN$, alors $\widehat{EH'O}=\pi/2$ : les points $H$ et $H'$ sont confondus.

    Le calcul de $\widehat{ONB}$ montre que $B, D, O, N$ sont cocycliques, et un argument identique au précédent montre que l’intersection de $DN$ et $JE$ est le point $G$ (c’est à dire que l’angle est droit), et donc notre point $N$ est confondu avec $F$, intersection de $DG$ et $EH$ — qui se trouve sur $BC$.

    .
    L’examen de la figure ne cesse d’étonner, tant elle regorge de propriétés inattendues. Ainsi, les trois cercles qui passent par $O$ ont même rayon. Si je note $P, Q, R$ leurs centres, les triangles $NED$ et $PQR$ sont égaux, leurs côtés parallèles, et ils sont semblables à $ABC$.

    Document joint : idm4-8-16-1.jpg
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