Figure sans paroles #4.8.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • rob.pin il y a 1 mois

    Un énoncé qui me parait correspondre à la figure :
    « Soient ABC un triangle, M le milieu de l’arc AB du cercle circonscrit à ABC contenant C. Un cercle passant par M et C coupe les demi-droites [AC) et [BC) en D et E respectivement. Alors AD=BE »

    Preuve :
    On appelle $\Gamma$ le cercle circonscrit à ABC et $\Delta$ le cercle passant par C, D et E.
    Les angles CAM et CBM sont inscrits dans $\Gamma$ et interceptent le même arc CM, donc CAM=CBM, d’où DAM=EBM.
    De même, les angles ACB et AMB sont égaux. En raisonnant dans le cercle $\Delta$, les angles DCE et DME sont égaux. Comme DCE=ACB, on obtient DME=AMB.
    Par différence, lorsque C appartient à l’arc AM on a DMA=DME-AME=AMB-AME=EMB, et lorsque C appartient à l’arc BM on a DMA=AMB-DMB=DME-DMB=EMB ; dans les deux cas, les angles DMA et EMB sont égaux.
    Enfin, AM=BM car M est le milieu de l’arc AB.
    Il en suit que les triangles DAM et EBM sont isométriques car ils ont un coté et les angles adjacents respectivement égaux. Par conséquent, AD=BE (et DM=EM).

    Un énoncé équivalent :
    « Soient ABC un triangle, M le milieu de l’arc AB du cercle circonscrit à ABC contenant C. Si D et E sont deux points appartenant respectivement aux demi-droites [AC) et [BC) tels que AD=BE, alors les points C, M, D, E sont cocycliques ».

  • rob.pin il y a 4 semaines

    Énoncé 1

    Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\Gamma$, soit $M$ le milieu de l’arc $AB$ contenant $C$. Un cercle $\Delta$ passant par $C$ et $M$ coupe les segments $[AC]$ et $[BC]$ en $D$ et $E$ respectivement.

    Alors $AD=BE$

    Énoncé 2

    Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\Gamma$, soit $M$ le milieu de l’arc $AB$ contenant $C$. Soient $D$ un point de $[AC]$ et $E$ un point de $[BC]$, tels que $AD=BE$.

    Alors $C$, $M$, $D$ et $E$ sont cocycliques.

    Preuve

    (On établit l’énoncé 1).

    Les angles $\widehat{CAM}$ et $\widehat{CBM}$ sont inscrits dans $\Gamma$ et interceptent le même arc $CM$ : $\widehat{CAM}=\widehat{CBM}$, donc $\widehat{DAM}=\widehat{EBM}$.
    Les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{AMB}$ sont inscrits dans $\Gamma$ et interceptent le même arc $AB$ : $\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$.
    Les angles $\widehat{DCE}=\widehat{ACB}$ et $\widehat{DME}$ sont inscrits dans $\Delta$ et interceptent le même arc $DE$ : $\widehat{ACB}=\widehat{DME}$. Par transitivité, $\widehat{AMB}=\widehat{DME}$.
    En soustrayant selon la position relative de $C$ et $M$ l’angle $\widehat{AME}$ ou l’angle $\widehat{BMD}$, on obtient : $\widehat{AMD}=\widehat{BME}$.
    Comme $M$ est le milieu de l’arc $AB$, $AM=BM$.
    Les triangles $ADM$ et $BEM$ ont un coté et ses angles adjacents respectivement égaux, donc ils sont isométriques. Par conséquent, $AD=BE$.

  • Aziz El Kacimi il y a 3 semaines

    Figure 4.8.17

    Bonjour,

    Les deux énoncés sont équivalents certes mais c’est plutôt le deuxième que semble suggérer la figure :

    Soient $ABC$ un triangle et $\Gamma $ son cercle circonscrit. On note $M\in \Gamma $ le milieu de l’arc $BC$ qui contient le point $C$. Soient $D$ et $E$ deux points respectivement sur les côtés $AC$ et $BC$ tels que $AD=BE$. Alors les quatre points $D$, $C$, $M$ et $E$ sont sur un même cercle.

    La démonstration que vous avez donnée du premier énoncé est correcte. Celle du second (celui que je viens de mentionner) est presque la même et est aussi assez facile à mener.

    Cordialement,

    Aziz El Kacimi

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