Figure sans paroles #4.8.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 4.8.17

    le 23 de agosto de 2017 à 18:48, par rob.pin

    Un énoncé qui me parait correspondre à la figure:
    «Soient ABC un triangle, M le milieu de l’arc AB du cercle circonscrit à ABC contenant C. Un cercle passant par M et C coupe les demi-droites [AC) et [BC) en D et E respectivement. Alors AD=BE»

    Preuve:
    On appelle $\Gamma$ le cercle circonscrit à ABC et $\Delta$ le cercle passant par C, D et E.
    Les angles CAM et CBM sont inscrits dans $\Gamma$ et interceptent le même arc CM, donc CAM=CBM, d’où DAM=EBM.
    De même, les angles ACB et AMB sont égaux. En raisonnant dans le cercle $\Delta$, les angles DCE et DME sont égaux. Comme DCE=ACB, on obtient DME=AMB.
    Par différence, lorsque C appartient à l’arc AM on a DMA=DME-AME=AMB-AME=EMB, et lorsque C appartient à l’arc BM on a DMA=AMB-DMB=DME-DMB=EMB; dans les deux cas, les angles DMA et EMB sont égaux.
    Enfin, AM=BM car M est le milieu de l’arc AB.
    Il en suit que les triangles DAM et EBM sont isométriques car ils ont un coté et les angles adjacents respectivement égaux. Par conséquent, AD=BE (et DM=EM).

    Un énoncé équivalent:
    «Soient ABC un triangle, M le milieu de l’arc AB du cercle circonscrit à ABC contenant C. Si D et E sont deux points appartenant respectivement aux demi-droites [AC) et [BC) tels que AD=BE, alors les points C, M, D, E sont cocycliques».

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

Tribuna

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.