Figure sans paroles #4.8.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.8.17

    le 23 août 2017 à 18:48, par rob.pin

    Un énoncé qui me parait correspondre à la figure :
    « Soient ABC un triangle, M le milieu de l’arc AB du cercle circonscrit à ABC contenant C. Un cercle passant par M et C coupe les demi-droites [AC) et [BC) en D et E respectivement. Alors AD=BE »

    Preuve :
    On appelle $\Gamma$ le cercle circonscrit à ABC et $\Delta$ le cercle passant par C, D et E.
    Les angles CAM et CBM sont inscrits dans $\Gamma$ et interceptent le même arc CM, donc CAM=CBM, d’où DAM=EBM.
    De même, les angles ACB et AMB sont égaux. En raisonnant dans le cercle $\Delta$, les angles DCE et DME sont égaux. Comme DCE=ACB, on obtient DME=AMB.
    Par différence, lorsque C appartient à l’arc AM on a DMA=DME-AME=AMB-AME=EMB, et lorsque C appartient à l’arc BM on a DMA=AMB-DMB=DME-DMB=EMB ; dans les deux cas, les angles DMA et EMB sont égaux.
    Enfin, AM=BM car M est le milieu de l’arc AB.
    Il en suit que les triangles DAM et EBM sont isométriques car ils ont un coté et les angles adjacents respectivement égaux. Par conséquent, AD=BE (et DM=EM).

    Un énoncé équivalent :
    « Soient ABC un triangle, M le milieu de l’arc AB du cercle circonscrit à ABC contenant C. Si D et E sont deux points appartenant respectivement aux demi-droites [AC) et [BC) tels que AD=BE, alors les points C, M, D, E sont cocycliques ».

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