Figure sans paroles #4.8.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.8.17

    le 23 août 2017 à 19:12, par rob.pin

    Énoncé 1

    Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\Gamma$, soit $M$ le milieu de l’arc $AB$ contenant $C$. Un cercle $\Delta$ passant par $C$ et $M$ coupe les segments $[AC]$ et $[BC]$ en $D$ et $E$ respectivement.

    Alors $AD=BE$

    Énoncé 2

    Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\Gamma$, soit $M$ le milieu de l’arc $AB$ contenant $C$. Soient $D$ un point de $[AC]$ et $E$ un point de $[BC]$, tels que $AD=BE$.

    Alors $C$, $M$, $D$ et $E$ sont cocycliques.

    Preuve

    (On établit l’énoncé 1).

    Les angles $\widehat{CAM}$ et $\widehat{CBM}$ sont inscrits dans $\Gamma$ et interceptent le même arc $CM$ : $\widehat{CAM}=\widehat{CBM}$, donc $\widehat{DAM}=\widehat{EBM}$.
    Les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{AMB}$ sont inscrits dans $\Gamma$ et interceptent le même arc $AB$ : $\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$.
    Les angles $\widehat{DCE}=\widehat{ACB}$ et $\widehat{DME}$ sont inscrits dans $\Delta$ et interceptent le même arc $DE$ : $\widehat{ACB}=\widehat{DME}$. Par transitivité, $\widehat{AMB}=\widehat{DME}$.
    En soustrayant selon la position relative de $C$ et $M$ l’angle $\widehat{AME}$ ou l’angle $\widehat{BMD}$, on obtient : $\widehat{AMD}=\widehat{BME}$.
    Comme $M$ est le milieu de l’arc $AB$, $AM=BM$.
    Les triangles $ADM$ et $BEM$ ont un coté et ses angles adjacents respectivement égaux, donc ils sont isométriques. Par conséquent, $AD=BE$.

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