Figure sans paroles #4.8.20

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.8.20

    le 3 novembre 2019 à 14:36, par Hébu

    Un quadrilatère << cerf-volant >> $ABCD$ ($BA=BC$, $DA=DC$). Le cercle passant par $A, B, D$ coupe $BC$ en $F$ et $CD$ en $E$.

    Alors la diagonale $AC$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{EAF}$.

    .

    L’égalité des côtés adjacents amène plusieurs propriétés intéressantes.
    Les triangles $ABD$ et $CBD$ sont égaux, de sorte que les angles $\widehat{DCB}$ et $\widehat{DAB}$ le sont. Les points $A, D, F, B$ étant cocycliques, $\widehat{DAB}+\widehat{DFB}=180$, et $\widehat{DCB}=\widehat{DAB}=\widehat{DFC}$.

    Le triangle $DFC$ est isocèle, de sorte que $DA, DC$ et $DF$ ont même longueur, $DAF$ est isocèle, les angles $\widehat{DAF}$ et $\widehat{DFA}$ ont même grandeur.

    (Le même raisonnement montre que $ABE$ est isocèle, côtés $AB$ et $BE$ égaux ; et donc les angles $\widehat{EAB}$ et $\widehat{AEB}$ sont égaux eux aussi).

    .

    L’angle $\widehat{ACD}$ peut être évalué, via les arcs ${AD}$ et ${EH}$ :
    $\widehat{ACD}=({AD}-{EH})/2$.

    Soit encore $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}-\widehat{EAC}$, soit $\widehat{ACD}+\widehat{EAC}=\widehat{ABD}$, qui devient (utilisant l’égalité des angles $\widehat{DAF}$ et $\widehat{DFA}$ montrée ci-dessus) $\widehat{CAD}+\widehat{EAC}=\widehat{ABD}=\widehat{AFD}=\widehat{FAD}$, soit par différence $\widehat{FAC}=\widehat{CAE}$ \qed

    On peut peut-être faire plus simple ?

    Document joint : idm4-8-20.jpg
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