Figure sans paroles #4.8.29

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.29

    le 10 juillet à 11:15, par Hébu

    Un triangle $ABC$ inscrit dans un cercle, de centre $O$. $D$ est le milieu de $BC$. Un cercle passe par $A, B, D$, son centre est noté $E$. On trace la << symmédiane >> de $AD$ elle coupe le cercle $A,B,D$ en un point $F$ (c’est à dire $\widehat{BAD}=\widehat{CAF}$). Et on fait passer un troisième cercle par $A, C$ et $F$. Le centre de ce cercle sera noté $G$.

    $H$ est le milieu de $EG$. Alors les points $A, O$ et $H$ sont alignés.

    .

    C’est une histoire d’angles !

    Les centres des cercles sont situés sur les médiatrices des côtés. Ainsi la médiatrice de $AF$ et celle de $AC$ se coupent au point $G$. La même médiatrice de $AF$ coupe celle de $AB$ en $E$.

    Les angles $\widehat{OEG}$ et $\widehat{BAF}$, qui ont leurs côtés perpendiculaires, sont égaux. Même chose pour $\widehat{EGO}$ et $\widehat{CAF}$. Enfin, $\widehat{AOE}=\widehat{ACB}, \widehat{AOG}=\widehat{ABC}$.

    Les triangles $GHO$ et $ADB$ sont semblables (angles égaux, puisque $\widehat{CAF}=\widehat{DAB}$). De même, $EHO$ et $ADC$ sont semblables. On a donc les égalités $GH/AD=HO/BD, EH/AD=HO/CD$. Et $D$ étant milieu de $BC$, $EH/AD=GH/AD$ : $H$ est le milieu de $EG$.

    Document joint : idm4-8-29.jpg
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques