Figure sans paroles #4.8.31

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Hébu il y a 3 jours

    (C) un cercle, de centre O. D’un point A, extérieur, on trace deux sécantes qui coupent (C) respectivement en B, C et D, E. Les perpendiculaires en B, C, D, E, se croisent en M et N (disons, M à gauche, N à droite).

    Alors, les angles MAC et NAE sont égaux.

    Pour la preuve, je trace le cercle (C’) de diamètre AM, qui passe par B et C à cause des angles droits. De même un cercle (C’’) de diamètre AN passant par D et E.

    • les angles CAE, DMC, BNE sont égaux (les deux angles da sommet M et N construits sur les perpendiculaires au premier) - sans utilité pour la suite !
    • les angles AMD et BNA sont égaux (AMD=ACD sur (C’), ABD=BED sur (C), BED=BNA sur (C’’).
    • dans les triangles rectangles MDA et NBA, les angles MAD et BAN sont donc égaux

    Par différence, CAE étant commun à ces deux angles, on a bien MAC=NAE

    Une autre propriété, les deux cercles (C’) et (C’’) se coupent en un point H, qui se trouve sur le segment MN — et AH est hauteur de A sur MN.

    Plus compliqué (et là je sèche), BE et CD se coupent sur AH ; et O, centre du cercle (C) est milieu de MN

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