Figure sans paroles #4.8.31

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 4.8.31

    le 8 de diciembre de 2017 à 13:51, par Hébu

    (C) un cercle, de centre O. D’un point A, extérieur, on trace deux sécantes qui coupent (C) respectivement en B, C et D, E. Les perpendiculaires en B, C, D, E, se croisent en M et N (disons, M à gauche, N à droite).

    Alors, les angles MAC et NAE sont égaux.

    Pour la preuve, je trace le cercle (C’) de diamètre AM, qui passe par B et C à cause des angles droits. De même un cercle (C’’) de diamètre AN passant par D et E.

    • les angles CAE, DMC, BNE sont égaux (les deux angles da sommet M et N construits sur les perpendiculaires au premier) - sans utilité pour la suite !
    • les angles AMD et BNA sont égaux (AMD=ACD sur (C’), ABD=BED sur (C), BED=BNA sur (C’’).
    • dans les triangles rectangles MDA et NBA, les angles MAD et BAN sont donc égaux

    Par différence, CAE étant commun à ces deux angles, on a bien MAC=NAE

    Une autre propriété, les deux cercles (C’) et (C’’) se coupent en un point H, qui se trouve sur le segment MN — et AH est hauteur de A sur MN.

    Plus compliqué (et là je sèche), BE et CD se coupent sur AH; et O, centre du cercle (C) est milieu de MN

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    • 4.8.31

      le 20 de junio à 11:03, par Hébu

      Il y a quand même beaucoup plus simple !

      .
      Puisque $\widehat{MAC}$ et $\widehat{NAE}$ sont égaux, les triangles ${MAC}$ et $NAE$ sont semblables: $AM/AN=AC/AE$. Puisque par complément à $\widehat{A}$, $\widehat{BAN}$ et $\widehat{DAM}$ sont égaux, les triangles $BAN$ et $DAM$ sont semblables, $AM/AN=AD/AB$.

      .
      De sorte que $AC/AE=AD/AB$, soit $AC*AB=AD*AE$. Le cercle qui passe par $B, C, D$ coupe $AD$ en un autre point $E'$, et la puissance de $A$ fait que $E$ et $E'$ sont confondus.

      Document joint : idm4-8-31.jpg
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