Figure sans paroles #4.8.32

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.32

    le 20 mars à 22:10, par Sidonie

    (AB) et (AC) sont tangentes à un cercle $(C_1)$ de centre O. D et E sont tels que O soit leur milieu. F est le projeté orthogonal de A sur (DE). Le cercle $(C_2)$ de centre M et passant D, B et F recoupe (AF) en G. Il s’agit de prouver que C, E, F et G sont cocycliques.

    (AB) coupe (DE) en H et $(C_2)$ en L
    (AC) coupe (DE) en F et (LG) en N
    (AG) coupe (OB) en I et (OC) en K
    (AO) coupe (LG) en Q
    P est le milieu de [GE], R est le milieu de [GN]

    Les divers angles droits prouvent que B, H, F, I d’une part et C, F, K, J d’autres sont sur les cercles $(C_3)$ et $(C_3)$

    La puissance de A par rapport aux cercles permet d’écrire
    (2) AB.AL = AF.AG
    (3) AB.AH = AF.AI
    (4) AC.AJ = AF.AK = AB.AJ

    (2) divisé par (3) donne AL/AH = AG/AI et donc (LG)//(HI)
    (3) divisé par (4) donne AH/Aj = AI/AK et donc (HI)//(JK)

    Dans le triangle AKJ les hauteurs (KC) et (JF) se coupent en O (orthocentre donc) et (OA) est aussi une hauteur perpendiculaire à (JK) et donc aussi à (LG). Comme (OA) est perpendiculaire à (BC) on a (BC)//(LG) ce qui fait de ALN est un triangle isocèle et de Q le milieu de [LN]

    Dans $(C_2)$ [DG] est un diamètre à cause de l’angle droit en F et donc (DL) est perpendiculaire à (LG)
    O milieu de [DE], Q milieu de [LN] et (DL)//(OQ) donc (EN)//(OQ) et (PR) devient la médiatrice de [GN]

    M et P sont les milieux de [GD] et [GE] donc (MP)//(DE) et (MP) est la médiatrice de [FG]
    P est donc le centre d’un cercle qui passe par E,F,G,N

    Puisque AB = AC et AL = AN , (2) devient AC.AN = AF.AG et C est cocyclique avec F, G, N et donc aussi avec E.

    Document joint : fsp_4.8.32.jpg
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