Figure sans paroles #4.8.34

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.34

    le 26 avril à 18:23, par Hébu

    Un triangle $ABC$, un point $D$ sur $AB$ d’où part $DE$, parallèle à $BC$. Deux segments issus de $B$ et $C$ concourent en un point $F$, intérieur au triangle. $BF$ coupe $DE$ en $G$, $CF$ coupe $DE$ en $H$.

    Deux cercles, l’un $c_1$ passant par $D, F, H$, l’autre $c_2$ par $E, F, G$, se recoupent en $J$.

    Alors, $A, J, F$ sont alignés.

    .
    $JF$ est l’axe radical des cercles. On prouve l’alignement en montrant que $A$ appartient lui aussi à l’axe radical, en calculant ses puissances par rapport aux cercles.

    .
    J’appelle $K$ le point où $c_1$ coupe $AB$, $L$ le point où $c_2$ coupe $AC$.

    .
    1/ Puisque $D, K, F, H$ sont cocycliques, et que $BC$ est parallèle à $DH$, alors $B, K, F, C$ sont cocycliques.

    Puisque $G, F, E, L$ sont cocycliques et que $BC$ est parallèle à $GE$, alors $B, F, L, C$ sont cocycliques.

    Ces deux cercles ont $B, C, F$ en commun — ils ne font qu’un.
    Finalement, les points $B, K, F, L, C$ sont cocycliques.

    .
    2/ On en déduit (puissance de $A$ : $AK\times AB=AL\times AC$, ou $AK/AL=AC/AB$.

    .
    3/ Maintenant, $BC$ et $DE$ sont parallèles, et donc $AC/AB=AE/AD$.
    Je porte cette égalité dans la précédente : $AK/AL=AE/AD$, soit $AK\times AD=AE\times AL$.

    .
    C’est l’égalité des puissances de $A$ par rapport à $c_1$ et $c_2$ : $A$ est donc sur l’axe radical de ces deux cercles, c’est à dire sur $FJ$.

    Document joint : idm4-8-34.jpg
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