Figure sans paroles #4.9.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.9

    le 11 septembre à 17:49, par Hébu

    Dans un triangle ABC, on place trois points, $D,E,F$, sur $AB,BC et AC$. On place ensuite $D',E',F'$, symétriques des points par rapport aux ilieux des segments (de sorte que $AD=BD'$, etc.)

    On note $J$ l’intersection de $(AE')$ et $(BF)$ ; $K$ l’intersection de $(CD')$ et $(BF')$ ; $L$ l’intersection de $AE$ et $CD$.

    Les droites $(AK), (BL), (CJ)$ sont concourantes.

    .
    Je note $M, N, O$ les intersections de $(CJ)$ et $(AB)$, de $(AK)$ et $(BC)$, et de $(BL)$ et $(AC)$.

    Puisque, par construction, $(AE'), (BF), (CM)$ sont concourantes (point $J$, alors, selon Céva,
    $(MB/MA)\times (AF/FC) \times (CE'/E'B)=1$.
    De même, pour les points $L$ et $K$,
    $(OA/OC)\times (CE/EB) \times (BD/DA)=1$, puis
    $(NC/NB)\times (BD'/D'A) \times (AF'/F'C)=1$.

    Le produit de ces trois expressions si on y remarque l’égalité des longueurs des segments $AF$ et $F'C$, $FC$ et $AF'$, etc., aboutit à l’expression finale $(MB/MA)\times (AO/OC)\times (CN/NB)=1$ — ce qui prouve la concourance des trois droites.

    Document joint : idm4-9-9.jpg
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