Figure sans paroles #4.9.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.10 et 4.9.8

    le 10 novembre 2021 à 11:37, par Reine

    Cette figure reprend la situation exposée dans la Figure sans Paroles 4.9.9, dans laquelle trois droites se trouvaient concourir en un même point, comme le démontrait le commentaire de Hébu. Ici, sur la même figure, ce sont trois autres droites qui sont concourantes. Ceci peut s’établir sans utiliser les égalités de segments marquées sur la figure, mais comme une conséquence directe de la concurrence illustrée en 4.9.9 et prouvée par Hébu ; et le même argument permet aussi de passer de 4.9.7 à 4.9.8.

    Dans chacune de ces quatre Figures sans Paroles, on a dans le plan 9 points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$, $A''$, $B''$ et $C''$, tels que chacun des 6 triplets $(A,B',C'')$, $(B,C',A'')$, $(C,A',B'')$, $(A,B'',C')$, $(B,C'',A')$ et $(C,A'',B')$ consiste en trois points alignés (voir la figure jointe). Nous allons établir que si les trois droites $\,\,AA'$, $BB'$ et $\,CC'$ sont concourantes$\,$ (ceci faisait l’objet de 4.9.7 et 4.9.9), alors $\,A'A''$, $B'B''$ et $\,C'C''$ le sont aussi$\,$ (ceci déduit donc 4.9.8 et 4.9.10 de 4.9.7 et 4.9.9).

    Nous utiliserons pour cela le théorème de Desargues qui dit que si $\,PQR$ et $\,P'\!Q'\!R'$ sont deux triangles tels que les trois points d’intersection $\,{PQ{\cap} P'\!Q'}$, ${QR{\cap} Q'\!R'}$ et $\,{RP{\cap} R'\!P'}$ sont alignés, alors les trois droites $\,PP'$, $QQ'$ et $RR'$ sont concourantes.

    Revenons à nos neuf points avec six alignements, et supposons $\,AA'$, $BB'$ et $CC'$ concourantes. On a alors l’alignement des trois points ${BB'\!{\cap} CC'}$, $A$ et $A'$ ; c’est-à-dire de ${BB'\!{\cap} CC'}$, ${B'\!C''\!{\cap} C'\!B''}$ et ${C''\!B{\cap} B''\!C}$.

    Appliquant alors Desargues avec $P=B$, $Q=B'$, $R=C''$, $P'=C$, $Q'=C'$ et $R'=B''$, on trouve que $BC$, $B'\!C'$ et $B''\!C''$ sont concourantes.

    Ceci se traduit en l’alignement de $C$, ${B'\!C'\!{\cap} B''\!C''}$ et $B$, qui se réécrivent ${A''\!B'\!{\cap} A'\!B''}$, ${B'\!C'\!{\cap} B''\!C''}$ et ${C'\!A''\!{\cap} C''\!A'}$.

    Prenant maintenant $P=A''$, $Q=B'$, $R=C'$, $P'=A'$, $Q'=B''$ et $R'=C''$ et désarguant de nouveau, on obtient le résultat souhaité : $\,A'\!A''$, $B'\!B''$ et $\,C'\!C''$ sont concourantes.

    Complément

    Sans supplément de prix, on peut aussi établir la réciproque, ainsi qu’une troisième concurrence :

    On suppose toujours que les neuf points vérifient les six alignements ci-dessus. Dès que l’une des trois concurrences ci-dessous a lieu, les deux autres sont aussi automatiquement vérifiées.

    1. — les trois droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ sont concourantes ;

    2. — les trois droites $A'\!A''$, $B'\!B''$ et $C'\!C''$ sont concourantes ;

    3. — les trois droites $AA''$, $BB''$ et $CC''$ sont concourantes.

    La démonstration faite plus haut a montré que la concurence 1 implique la concurrence 2. On pourrait prouver de même l’implication 2${}\Rightarrow{}$3, mais il est plus simple de la déduire$\,$ de ce que l’on sait déjà. Il suffit pour cela de remarquer que, lorsqu’on remplace $A$ par $A'$, $A'$ par $A''$, $A''$ par $A$ et de même avec les $B$ et les $C$, les six hypothèses d’alignement restent satisfaites, et la concurrence 1 est remplacée par 2, elle-même remplacée par 3, et 3 par 1. On obtient ainsi automatiquement que 2 entraîne 3, et, en appliquant à nouveau la permutation, que 3 implique 1. Ainsi, chacune des trois suffit à entraîner les deux autres.

    Document joint : figure-4-9-10.pdf
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