Figure sans paroles #4.9.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Hébu il y a 2 semaines

    Sur chaque côté d’un triangle $ABC$, on construit un triangle isocèle, en plaçant un point $E$ tel
    que $AE=BE$, un point $D$ tel que $AD=CD$, un point $F$ tel que $BF=CF$ (tous ces point à l’extérieur — pourrait-on les mettre à l’intérieur ?).

    Depuis les sommets $A, B$ et $C$ on abaisse les perpendiculaires sur $ED, DF$ et $EF$. Soit $H$ (resp. $J$, $K$) le pied de la perpendiculaire de $A$ sur $ED$ (resp. $C$ sur $DF$, $B$ sur $EF$).

    Les droites $AH, BK, CJ$ sont concourantes en un point $P$ !

    .
    Fort du succès de l’application du << théorème de Carnot >> à la figure 4.9.19, on va l’appliquer ici (pour qui ne possède qu’un marteau, tous les problèmes ressemblent à des clous, comme aurait dit à peu près Abraham Maslow).

    .
    Considérons les triangles rectangles $KBE$ et $KBF$. Le théorème de Pythagore nous permet d’écrire $KE^2=BE^2-BK^2$, $KF^2=BF^2-BK^2$, soit en combinant,
    \[ KE^2-KF^2=BE^2-BF^2\]

    La même recette appliquée aux autres triangles rectangles, conduit à
    \[ HD^2-HE^2=AD^2-AE^2 \]
    \[ JF^2-JD^2=CF^2-CD^2 \]

    Faisant les sommes membre à membre, remarquant que $BE=AE, AD=CD, CF=BF$, on obtient
    \[ KE^2+JF^2+HD^2-(KF^2+HE^2+JD^2)=0 \]
    Mais c’est exactement l’égalité du théorème de Carnot du 4.9.16 : les perpendiculaires aux côtés $ED$, $EF$ et $CD$, élevées de $K, J $ et $H$ sont donc concourantes.

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