Figure sans paroles #4.10.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.10.1

    le 9 septembre à 17:24, par Hébu

    Un triangle $ABC$, rectangle en $C$. Depuis $C$ on abaisse la hauteur $CH$ sur l’hypothénuse, puis on trace la bissectrice de $\widehat{BCH}$, qui va couper $BH$ en $J$. Depuis $A$ on mène une parallèle à $CJ$, qui va couper $CH$ en $N$. On a aussi placé le point $M$, milieu de $BC$.

    .

    Il s’agit de voir que $M, J$ et $N$ sont alignés.

    .

    On peut appliquer le résultat de Ménélaus, qui dit que $M, J, N$ sont alignés si
    \[ \frac{\overline{JH}}{\overline{JB}}\times \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}\times \frac{\overline{NC}}{\overline{NH}} = 1 \]

    Puisque $M$ est milieu de $BC$, le second rapport vaut $-1$. Puisque $CJ$ est la bissectrice, alors $JH/JB=CH/CB$ (avec un signe << - >>).

    .

    Pour le troisième rapport, je propose de tracer la perpendiculaire, abaissée de $J$ sur $BC$ — appelons-la $JK$. Les triangles $JKC$ et $JHC$ sont égaux et donc $CK=CH$. Et puisque les triangles $ANC$ et $ACB$ sont semblables (les angles sont égaux, comme on le voit rapidement), alors $NC/NH=CB/CK$.

    Finalement, le produit des rapport devient
    \[ \frac{\overline{CH}}{\overline{CB}}\times \frac{\overline{CB}}{\overline{CK}} \]
    Et avec $CH=CK$, on trouve bien un rapport égal à 1.

    On peut remarquer aussi que $AJC$ est un triangle isocèle, et donc $AC=AJ$ (mais on n’en fait rien).

    Répondre à ce message
    • 4.10.1

      le 15 septembre à 17:32, par Aziz El Kacimi

      Bonjour !

      Bravo pour la démonstration ! C’est une belle application du théorème de Ménélaüs.

      Juste une erreur de frappe : ce sont les deux triangles ANC et JCB (et non CBA) qui sont semblables comme on peut le voir sur le dessin ci-joint.

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

      Document joint : figuresansparole.png
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      • 4.10.1

        le 16 septembre à 15:09, par Hébu

        Effectivement, il s’agit bien de $JCB$ et $ANC$, merci pour cette rectification !

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  • 4.10.1

    le 11 septembre à 15:23, par Sidonie

    Bonjour Hebu,

    Je propose une autre façon de déterminer le produit des deux rapports ou le triangle isocèle ACJ est nécessaire c’est pourquoi j’en propose une autre démonstration. Si on note a et b les mesures des angles CAB et CBA l’angle ACJ mesure a/2 + b et l’angle CJA la même chose en tant qu’angle extérieur du triangle BJC.

    La similitude des triangles donne JB/JH=CB/CH=AB/AC

    A l’aide du théorème Thalès vient NH/NC=AH/AJ=AH/AC=AC/AB

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  • 4.10.1

    le 12 septembre à 12:34, par Hébu

    Bonjour Sidonie,

    Je ne comprends pas — je suppose qu’il y a confusion sur une lettre ? Je suis d’accord pour les angles ACJ et CJA, et
    sur JB/JH=CB/CH=AB/AC (propriété de la bissectrice)
    mais ensuite je décroche. Comment utiliser Thales pour rattacher N ?

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    • 4.10.1

      le 14 septembre à 15:06, par Sidonie

      Bonjour Hebu,

      Les droites (AN) et et (CJ) sont parallèles ayant des angles alternes internes égaux avec (CN).

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