Figure sans paroles #4.10.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.10.6

    le 1er octobre à 18:14, par Hébu

    Un triangle rectangle en $A$. Soient $J$ et $K$ les milieux des côtés $AB$ et $BC$.

    On prend un point $P$ sur l’hypothénuse $BC$. On trace le cercle $(C)$ qui passe par $A, C$ et $P$.
    On mène les tangentes au cercle en $A$ et $P$, elles se coupent en un point $Q$.

    Les points $Q$, $J$ et $K$ sont alignés.

    .

    Soit $O$ le centre du cercle $(C)$, passant par $A, C, P$. Ce centre se déplace sur la médiatrice de $AC$. De ce fait $OAC=OCA$. On va devoir estimer des angles. Toute la figure dépend de la position de $P$ ou de $O$, posons donc $OAC=u$, et notons $a, b, c$ les angles aux sommets du triangle (et idéalement, tout devra s’exprimer en fonction de $u, a, b, c$).

    $OQ$ coupe $AB$ en $N$. Les angles $\widehat{NPO}$ et $\widehat{NAO}$ sont égaux : $\widehat{NAO}=\pi/2-u=\widehat{NPO}$, de sorte que $\widehat{NPQ}=u$.

    .

    Les points $P, O, A, Q$ sont cocycliques (angles droits en $P$ et $A$, puisque $QP$ et $QA$ sont des tangentes). Appelons $(C')$ ce cercle, il admet $OQ$ comme diamètre.

    .

    Les points $P, Q, A, O$ vérifient $\widehat{PQA}+\widehat{POA}=\pi$. Sur $(C)$, on voit que $\widehat{POA}=2c$ (angle au centre), de sorte que $\widehat{POQ}=\widehat{AOQ}=c$, et $\widehat{PQO}=\widehat{AQO}=b$.

    .

    On peut aussi estimer $\widehat{ANO}=\widehat{BNQ}$ : $\widehat{ANO}=\pi-\widehat{QOA}-\widehat{NAO}=\pi-c-(\pi/2-u)$, soit finalement $\widehat{ANO}=\pi/2-c+u$.
    Le calcul de $\widehat{BPQ}$ donne $\widehat{BPQ}=\pi-\widehat{QPC}=\pi-\widehat{QPO}-\widehat{OPC}$ ; $QPO=\pi/2$ et $\widehat{OPC}=\widehat{OCP}=c-u$. Cela conduit à $\widehat{BPQ}=\pi/2-c+u$.

    Les angles $\widehat{BPQ}$ et $\widehat{BNQ}$ sont donc égaux. On peut invoquer alors un cercle $(C'')$ passant par $Q, B$ et $P$. L’égalité précédente montre que le point $N$ se trouve sur cette circonférence. Et on en déduit que les angles $\widehat{QBA}$ et $\widehat{QPN}$, qui interceptent le même arc, sont égaux : $\widehat{QBA}=u$.

    L’angle $\widehat{QAB}=u$, puisque $\widehat{QAB}+\widehat{BAO}=\widehat{BAO}+\widehat{OAC}=\pi/2$. De sorte que le triangle $QAB$ est isocèle, $QA=QB$, le point $Q$ est donc sur la médiatrice du segment $AB$

    Les points $J$ et $K$, milieux de $AB$ et $BC$, sont eux aussi sur la médiatrice de $AB$. $Q, J$ et $K$ sont donc alignés.

    .

    Franchement, cette preuve me semble parfaitement indigeste (je l’espère juste, cependant...)

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    • 4.10.6

      le 1er octobre à 18:18, par Hébu

      j’avais posté une figure, elle a disparu. Je réitère

      Document joint : idm4-10-6.jpg
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    • 4.10.6

      le 1er octobre à 18:22, par Hébu

      pourquoi « hypothénuse » au lieu de « hypoténuse » ?

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    • 4.10.6

      le 2 octobre à 10:46, par Sidonie

      Bonjour,

      Votre commentaire semble m’autoriser à proposer une démonstration plus « digeste ». Je reprends vos notations sauf O et N qui disparaissent.

      Les angles ACP et APQ sont égaux car ils interceptent le même arc. APE est un triangle isocèle donc l’angle PQA mesure PI-2c = 2b.

      Le cercle centre Q passant par A passe aussi par P et par B puisque l’angle PBA est la moitié de PQA.

      QJ devient un diamètre passant par le milieu de la corde AB. Il lui est donc perpendiculaire tout comme KJ qui est parallèle à AC (droite des milieux).

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      • 4.10.6

        le 2 octobre à 12:03, par Hébu

        Eh oui, la voila la bonne idée ! Le noeud du problème est de montrer que $B$ est sur ce cercle de centre $Q$ qui passe par $A$ et $P$. J’y arrive (laborieusement) par le calcul de l’angle QBA, alors que la remarque élégante (B angle inscrit moitié de PQA angle au centre) réduit la preuve à une ligne ou presque.

        Bravo !

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