Figure sans paroles #4.10.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.10.6

    le 1er octobre 2018 à 18:14, par Hébu

    Un triangle rectangle en $A$. Soient $J$ et $K$ les milieux des côtés $AB$ et $BC$.

    On prend un point $P$ sur l’hypothénuse $BC$. On trace le cercle $(C)$ qui passe par $A, C$ et $P$.
    On mène les tangentes au cercle en $A$ et $P$, elles se coupent en un point $Q$.

    Les points $Q$, $J$ et $K$ sont alignés.

    .

    Soit $O$ le centre du cercle $(C)$, passant par $A, C, P$. Ce centre se déplace sur la médiatrice de $AC$. De ce fait $OAC=OCA$. On va devoir estimer des angles. Toute la figure dépend de la position de $P$ ou de $O$, posons donc $OAC=u$, et notons $a, b, c$ les angles aux sommets du triangle (et idéalement, tout devra s’exprimer en fonction de $u, a, b, c$).

    $OQ$ coupe $AB$ en $N$. Les angles $\widehat{NPO}$ et $\widehat{NAO}$ sont égaux : $\widehat{NAO}=\pi/2-u=\widehat{NPO}$, de sorte que $\widehat{NPQ}=u$.

    .

    Les points $P, O, A, Q$ sont cocycliques (angles droits en $P$ et $A$, puisque $QP$ et $QA$ sont des tangentes). Appelons $(C')$ ce cercle, il admet $OQ$ comme diamètre.

    .

    Les points $P, Q, A, O$ vérifient $\widehat{PQA}+\widehat{POA}=\pi$. Sur $(C)$, on voit que $\widehat{POA}=2c$ (angle au centre), de sorte que $\widehat{POQ}=\widehat{AOQ}=c$, et $\widehat{PQO}=\widehat{AQO}=b$.

    .

    On peut aussi estimer $\widehat{ANO}=\widehat{BNQ}$ : $\widehat{ANO}=\pi-\widehat{QOA}-\widehat{NAO}=\pi-c-(\pi/2-u)$, soit finalement $\widehat{ANO}=\pi/2-c+u$.
    Le calcul de $\widehat{BPQ}$ donne $\widehat{BPQ}=\pi-\widehat{QPC}=\pi-\widehat{QPO}-\widehat{OPC}$ ; $QPO=\pi/2$ et $\widehat{OPC}=\widehat{OCP}=c-u$. Cela conduit à $\widehat{BPQ}=\pi/2-c+u$.

    Les angles $\widehat{BPQ}$ et $\widehat{BNQ}$ sont donc égaux. On peut invoquer alors un cercle $(C'')$ passant par $Q, B$ et $P$. L’égalité précédente montre que le point $N$ se trouve sur cette circonférence. Et on en déduit que les angles $\widehat{QBA}$ et $\widehat{QPN}$, qui interceptent le même arc, sont égaux : $\widehat{QBA}=u$.

    L’angle $\widehat{QAB}=u$, puisque $\widehat{QAB}+\widehat{BAO}=\widehat{BAO}+\widehat{OAC}=\pi/2$. De sorte que le triangle $QAB$ est isocèle, $QA=QB$, le point $Q$ est donc sur la médiatrice du segment $AB$

    Les points $J$ et $K$, milieux de $AB$ et $BC$, sont eux aussi sur la médiatrice de $AB$. $Q, J$ et $K$ sont donc alignés.

    .

    Franchement, cette preuve me semble parfaitement indigeste (je l’espère juste, cependant...)

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