Figure sans paroles #4.11.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.11.1

    le 22 octobre à 15:19, par Sidonie

    Soit ABC un triangle dont le sommet A mesure 60°. Les bissectrices intérieures (BD) et (CE) se coupent en I (centre du cercle inscrit). I se projette orthogonalement sur (AC) et (AB) en F et G.

    L’angle FIG mesure 120°. La somme des angles en B et C est 180°-60°=120° . L’angle BIC mesure 180°-120°/2=120°. Les angles EIG et FID sont donc égaux.

    Dans les triangles FID et GIE on a un côté « égal » (IF=IG) et des angles égaux 2 à 2. Les deux triangles sont « égaux » et alors ID=IE

    Répondre à ce message
    • 4.11.1

      le 23 octobre à 13:15, par Hébu

      Oui, on pouvait aussi s’appuyer sur le fait que le quadrilatère AEID est inscriptible (puisque l’angle en I=120°). Alors, puisque les angles EAI et IAD sont égaux, les arcs — et donc les cordes — le sont aussi. Donc EI=ID

      Répondre à ce message
      • 4.11.1

        le 23 octobre à 16:43, par Sidonie

        C’est en effet plus court et plus astucieux.

        Répondre à ce message
        • 4.11.1

          le 24 octobre à 14:19, par Hébu

          Il existe une limite aux dialogues « sans parole », et je m’interroge sur la motivation profonde de ce problème. On a répondu à la question « pour le triangle où a=60°, alors IE=IF ». Mais était-ce l’unique but ?
          Une autre question pourrait être « que faut-il faire pour que IE=IF ? ».

          On pense bien sûr à « a=60° serait-il une condition nécessaire et suffisante ? ».

          .

          Et de ce point de vue les solutions précédentes ne sont qu’en partie équivalentes.

          .

          Si je prends la démonstration par « A, E, I, D cocycliques »., il est facile de voir qu’il y a équivalence entre « a=60° » et « A, E, I, D cocycliques ». Mais « IE=IF » n’implique pas la cocyclicité. On n’a donc pas une preuve de condition nécessaire et suffisante. On a juste « a=60° ==> IE=IF ».

          .

          A l’inverse, la preuve qui étudie les triangles IGE et IDF peut aisément se modifier. On voit que GEI=180°-(a+c/2), et IDF=180°-(c+b/2). Et une cns pour l’égalité de ces angles sera a=(b+c)/2, soit a=60°.

          On a donc la suite « a=60° » <==> « triangles IGE et IDF égaux » <==> « IE=IF ».

          .

          Ainsi, l’attaque de la figure via les triangles rectangles permet d’enrichir la démonstration, la transformant en une « condition nécessaire et suffisante ».

          Document joint : idm4-11-1-bis.jpg
          Répondre à ce message
          • 4.11.1

            le 26 octobre à 16:14, par Hébu

            Il faut toujours relire soigneusement ce qu’on écrit... Dans ce qui précède,, il faut lire évidemment << IE=ID >> là où j’ai écrit trop vite << IE=IF >>

            Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

La tribune des mathématiciens

Suivre IDM