Commentaire sur l'article

• 4.11.1

  le 22 octobre 2018 à 15:19, par Sidonie

  Soit ABC un triangle dont le sommet A mesure 60°. Les bissectrices intérieures (BD) et (CE) se coupent en I (centre du cercle inscrit). I se projette orthogonalement sur (AC) et (AB) en F et G.

  L’angle FIG mesure 120°. La somme des angles en B et C est 180°-60°=120° . L’angle BIC mesure 180°-120°/2=120°. Les angles EIG et FID sont donc égaux.

  Dans les triangles FID et GIE on a un côté « égal » (IF=IG) et des angles égaux 2 à 2. Les deux triangles sont « égaux » et alors ID=IE

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• 4.11.1

  le 23 octobre 2018 à 13:15, par Hébu

  Oui, on pouvait aussi s’appuyer sur le fait que le quadrilatère AEID est inscriptible (puisque l’angle en I=120°). Alors, puisque les angles EAI et IAD sont égaux, les arcs — et donc les cordes — le sont aussi. Donc EI=ID

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• 4.11.1

  le 23 octobre 2018 à 16:43, par Sidonie

  C’est en effet plus court et plus astucieux.

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• 4.11.1

  le 24 octobre 2018 à 14:19, par Hébu

  Il existe une limite aux dialogues « sans parole », et je m’interroge sur la motivation profonde de ce problème. On a répondu à la question « pour le triangle où a=60°, alors IE=IF ». Mais était-ce l’unique but ?
  Une autre question pourrait être « que faut-il faire pour que IE=IF ? ».

  On pense bien sûr à « a=60° serait-il une condition nécessaire et suffisante ? ».

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  Et de ce point de vue les solutions précédentes ne sont qu’en partie équivalentes.

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  Si je prends la démonstration par « A, E, I, D cocycliques »., il est facile de voir qu’il y a équivalence entre « a=60° » et « A, E, I, D cocycliques ». Mais « IE=IF » n’implique pas la cocyclicité. On n’a donc pas une preuve de condition nécessaire et suffisante. On a juste « a=60° ==> IE=IF ».

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  A l’inverse, la preuve qui étudie les triangles IGE et IDF peut aisément se modifier. On voit que GEI=180°-(a+c/2), et IDF=180°-(c+b/2). Et une cns pour l’égalité de ces angles sera a=(b+c)/2, soit a=60°.

  On a donc la suite « a=60° » <==> « triangles IGE et IDF égaux » <==> « IE=IF ».

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  Ainsi, l’attaque de la figure via les triangles rectangles permet d’enrichir la démonstration, la transformant en une « condition nécessaire et suffisante ».

  Document joint : idm4-11-1-bis.jpg
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• 4.11.1

  le 26 octobre 2018 à 16:14, par Hébu

  Il faut toujours relire soigneusement ce qu’on écrit... Dans ce qui précède,, il faut lire évidemment << IE=ID >> là où j’ai écrit trop vite << IE=IF >>

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