Figure sans paroles #4.11.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.11.2

    le 29 octobre 2018 à 16:32, par Sidonie

    ABC est un triangle dont l’angle A mesure 60°, l’angle B mesure b >60°. D,E et I sont les pieds des bissectrices intérieures à B, C et A. J est l’intersection de (DE) avec (BC). K est le projeté orthogonal de A sur (DE) , L est l’intersection entre (AK) et (BC) . Il faut démontrer que AK=KL.

    En utilisant le théorème de Ménélaus il vient en mesures algébriques BE/AExAD/CDxCJ/BJ =1

    Les deux premiers rapports se transforment en BC/ACxAB/CBxCJ/BJ=1 puis CJ/BJ =CA/BA=-CI/BI

    Donc I et J sont conjugués harmoniques de B et C . I étant le pied de la bissectrice intérieure (AJ) devient la bissectrice extérieure et l’angle JAB mesure 60°. La somme des angle permet alors de calculer AJB=b-60° et EJB =b/2-30° (EF) est donc la bissectrice de AJC et L devient le symétrique de A par rapport à (EF) et donc AK=KL. (et bien d’autres choses encore).

    Bien laborieux, j’en conviens, peut-on faire plus simple ?

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