Figure sans paroles #4.11.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.11.4

    le 13 novembre 2018 à 12:08, par Hébu

    Oui, une argumentation très élégante, et rapide. La preuve que je voulais proposer est plus laborieuse, et moins synthétique. Il me faut donc nommer les points !

    .

    Voici donc un triangle $ABC$, les hauteurs $BD$ et $CE$, qui se croisent en $H$, l’orthocentre. $O$ le centre du cercle circonscrit, et le segment $OH$, prolongé en $J$ sur $AC$ et en $K$ sur $AB$.

    L’angle $A$ mesurant 60 degrés, il s’agit de montrer que les angles $KJA$ et $JKA$ sont égaux.

    .

    Tout d’abord, on peut voir (quelle que soit la mesure de $A$), que les angles $KAO$ et $HAJ$ sont égaux (ils valent 90-c).

    Maintenant, avec $a=60$ degrés, l’angle $ABD$ vaut 30 degrés, le triangle rectangle $ABD$ est un « demi-triangle équilatéral », et les longueurs $AD=AB/2$.

    J’ajoute au dessin le point $M$, projeté orthogonal de $O$ sur $AB$. $OM$ est la médiatrice de $AB$, et $AM=AB/2$. De sorte que les triangles rectangles $AMO$ et $ADH$ sont égaux, ergo $AO=AH$, $AOH$ isocèle et $AOH=AHO$, ce qui implique $AOK=AHJ$ et à leur tour $AKO=AJH$.

    .

    Et la réciproque, en tricotant à l’envers le même argument.

    Soient donc les angles en $K$ et $J$ égaux.
    Comme dit plus haut, les angles $KAO$ et $HAJ$ sont encore égaux

    Le triangle $AKJ$ est isocèle, $AK=AJ$, les triangles $AKO$ et $AJH$ sont donc égaux, ce qui implique l’égalité des triangles $AMO$ et $ADH$, donc $AM=AD$, faisant de $BAD$ un « demi-triangle équilatéral », et donc $a=60$ degrés.

    Document joint : idm4-11-4.jpg
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