Figure sans paroles #4.12.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.12.2

    le 2 janvier à 12:38, par Hébu

    Ma contribution à la solution, une figure !

    .
    Et une remarque. Il faut montrer l’égalité des angles $\widehat{GJD}$ et $\widehat{AJE}$, mais il y a d’autres égalités, peut-être plus intéressantes pour trouver une idée ?

    .

    Ainsi $\widehat{DJB}$ et $\widehat{EJC}$ (et donc $\widehat{ AJH}$ et $\widehat{GJH}$, etc.)

    .
    Je réfléchis là dessus

    Document joint : idm4-12-2.jpg
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  • 4.12.2

    le 4 janvier à 10:26, par Sidonie

    Je pense avoir une démonstration à base de rapports harmoniques.

    Je note I le point d’intersection entre DE et BC. Dans le quadrilatère complet DCABGE, les diagonales AG et BC coupent la 3 ème DE en en H et I qui sont donc en division harmonique avec D et E.
    On a vu sur une figure précédente que dans un triangle les pieds des bissectrices intérieures et extérieures formaient une division harmonique avec les deux autres sommets.
    Traçons la symétrique de JD par rapport à JH elle coupe DE en E’. Il suffit d’appliquer le résultat précédent au triangle JDE’ pour avoir D,E’,I et H en division harmonique. Or en premier lieu on avait D,E’,I et H en division harmonique. Donc E=E’ .

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    • 4.12.2

      le 4 janvier à 11:11, par Sidonie

      Correction : en dernière ligne le premier E’ en fait E.

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  • 4.12.2

    le 4 janvier à 12:14, par Hébu

    Eh bien, la preuve est convaincante, bravo ! J’étais parti sur une construction inspirée par le 4.12.1, traçant par A une parallèle à BC, que JD et JE coupaient en 2 segments égaux. Mais comment aller plus loin ?

    En fait, il faudrait surement faire l’inverse : adapter cet argument au cas 4.12.1 ?

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    • 4.12.2

      le 4 janvier à 23:50, par Sidonie

      Dans un premier temps j’ai fait comme vous. N’arrivant à rien, j’ai repensé aux harmonies liées aux bissectrices déjà rencontrées et élargi la figure au quadrilatère complet. Bingo ! Wikipédia m’a confirmé le résultat : les extrémités d’une diagonale sont en rapport harmonique avec les intersections avec les autre diagonales. (Résultat admis dont je chercherai la démonstration plus tard). Restait à inverser le résultat sur les pieds des bissectrices. La fausse démonstration par l’absurde que je propose permet de démontrer un résultat plus général : si A,B,C et D sont en rapport harmonique et si M est un point du cercle de diamètre CD alors MC et MD sont les bissectrices de l’angle AMB. Combinés ces deux résultats (peut être déjà théorèmes par ailleurs) donnent un résultat qui résout illico notre problème : dans un quadrilatère complet chaque diagonale et sa perpendiculaire qui passe par l’intersection des deux autres diagonales sont les bissectrices des angles de sommet le projeté orthogonal et dont les côtés passent par les extrémités d’une autre diagonale.

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    • 4.12.2

      le 5 janvier à 10:40, par Sidonie

      Je remarque tardivement que mon dernier résultat s’applique aussi au cas 4.12.1. J’en profite pour vous présenter mes vœux pour 2019 ainsi qu’à chaque lecteur de ce message.

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      • 4.12.2

        le 6 janvier à 14:44, par Hébu

        quant à moi, je remarque que le trou béant où s’entassent mes lacunes ne fait que s’agrandir...

        ceci étant, je vous remercie pour ces voeux, et vous adresse les miens en retour — à partager avec tous les autres participants ! Avant de me plonger dans les échanges précédents pour tenter de comprendre.

        Et demain une nouvelle figure !!!

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