Figure sans paroles #4.12.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

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  • 4.12.2

    le 4 janvier 2019 à 23:50, par Sidonie

    Dans un premier temps j’ai fait comme vous. N’arrivant à rien, j’ai repensé aux harmonies liées aux bissectrices déjà rencontrées et élargi la figure au quadrilatère complet. Bingo ! Wikipédia m’a confirmé le résultat : les extrémités d’une diagonale sont en rapport harmonique avec les intersections avec les autre diagonales. (Résultat admis dont je chercherai la démonstration plus tard). Restait à inverser le résultat sur les pieds des bissectrices. La fausse démonstration par l’absurde que je propose permet de démontrer un résultat plus général : si A,B,C et D sont en rapport harmonique et si M est un point du cercle de diamètre CD alors MC et MD sont les bissectrices de l’angle AMB. Combinés ces deux résultats (peut être déjà théorèmes par ailleurs) donnent un résultat qui résout illico notre problème : dans un quadrilatère complet chaque diagonale et sa perpendiculaire qui passe par l’intersection des deux autres diagonales sont les bissectrices des angles de sommet le projeté orthogonal et dont les côtés passent par les extrémités d’une autre diagonale.

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