Figure sans paroles #4.12.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.12.3

    le 10 janvier à 12:17, par Sidonie

    Sur les côtés CB et CD du quadrilatère ABCD on place E et F tels que les angles BAE et DAF sont égaux. G est le point d’intersection entre DE et BF. Il faut démontrer que les angles CAE et GAF sont égaux.

    On trace les deux bissectrices de BAD. MN est la bissectrice extérieure avec M,B,C alignés et N,D,C alignés. On trace d la symétrique de AC par rapport à la bissectrice intérieure. Le problème se ramène à démontrer que G appartient à d.

    On note H et I les points d’intersection entre MD et NB d’une part, MF et NE d’autre part. Le théorème de Pappus nous dit que G,H et I sont alignés.

    Le dernier résultat du 4.12.2 admet une réciproque : si sur la diagonale d’un quadrilatère complet on a un point M tel que cette diagonale est une bissectrice de l’angle de sommet M et passant par les extrémités d’une deuxième diagonale alors elle aussi bissectrice de l’angle passant par les extrémités de la troisième diagonale.

    En appliquant 2 fois cette réciproque à BNCMHD puis à ENCMIF on obtient que H et I appartiennent à d et donc G aussi.

    Ouf ! j’espère qu’il existe une méthode plus simple.

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    • 4.12.3

      le 10 janvier à 14:16, par Sidonie

      J’ajoute la figure

      Document joint : figure_4.12.3.jpg
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      • 4.12.3

        le 10 janvier à 18:31, par Hébu

        Démonstration impressionnante. Il va me falloir un moment pour la digérer... Ca devient acrobatique

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        • 4.12.3

          le 10 janvier à 19:15, par Sidonie

          Vous vous posiez la question du bien fondé de la succession des figures. je pense que, cette fois-ci, nous sommes bien servis.

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