Figure sans paroles #5.2.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.2.6

    le 8 juillet à 23:24, par Sidonie

    Dans un trapèze ABCD dont les diagonales se coupent en E on trace les cercles c et d passant par A,D et E pour c et B,C et E pour d. c et d se recoupent en F et coupent (AB) en G et H, et coupent (CD) en I et J. Il s’agit de démontrer l’alignement I, F et H qui entraînera l’alignement J, F et G.

    J’utilise des angles orientés noté par des couples. A l’intérieur il faut lire des vecteurs.

    (FI,FE) = (DI,DE) = (BH,BE) = (FH,FE) et donc les vecteurs FI et FH sont colinéaires.

    Document joint : fsp_5.2.6.jpg
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    • 5.2.6

      le 9 juillet à 11:11, par Hébu

      Bravo ! L’utilisation des angles orientés apporte une concision spectaculaire — et va droit au but.

      Pour ma part, j’ai constaté un tas de jolies propriétés dans la figure, des trapèzes isocèles (DAGI, JHBC), des séries de points cocycliques (D, G, H, C), etc.

      Et je me suis dit que la figure, complexe et riche, cachait trop bien la solution de l’énigme.

      .
      Alors, je l’ai dépouillée, voilà le résultat
      On considère un cercle $(C)$, traversé par une droite $(D)$, qui le coupe en $A$ et $H$.

      Un point $C$, extérieur au cercle ; on mène le segment $AC$, il coupe le cercle en un point $E$.

      Un second cercle $(C')$, qui passe par $E$ et $C$, coupe le premier cercle en un point $F$.

      La droite $HF$ coupe le deuxième cercle $(C')$ en $I$, et il faut montrer que $CI$ est parallèle à $AH$.

      Ou bien (plus conforme à la figure, sûrement), la parallèle en $C$ à $AH$ coupe le cercle en $I$, et $H, F, I$ sont alignés.

      .
      Depuis $F$ on trace les segments $FH$ et $FI$.

      Puisque $H, F$ et $E$ sont sur le cercle $(C)$, $\widehat{HFE}+\widehat{HAE}=180$ degrés.

      Dans le cercle $(C')$, $\widehat{EFI}=\widehat{ECI}=\widehat{HAE}$ (puisque les droites sont parallèles)

      Il s’ensuit que $\widehat{HFE}+\widehat{EFI}=180$ degrés : $H$, $F$ et $I$ sont alignés.

      On peut compliquer la figure, par exemple en nommant le point $D$, en traçant $DE$ qui coupe $(AH)$ en $B$, et en exigeant que le second cercle passe par $C, B$ et $E$ : on retrouve alors la figure 5.2.6, et la seconde suite de points alignés

      .
      L’idée est identique — mais je ne maîtrise pas les angles orientés... Et je trouve intéressant d’essayer de « simplifier » en retenant les éléments indispensables à la propriété

      Document joint : idm5-2-6-bis.jpg
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    • 5.2.6

      le 19 juillet à 15:09, par Sidonie

      Je reviens sur une erreur, depuis corrigée au 5.2.7. Les angles sont des angles de droites et la conclusion devient les droites (FI) et (FE) sont parallèles et donc confondues.

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