Figure sans paroles #5.2.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.2.10

    le 5 août à 16:29, par Hébu

    Dans le trapèze $ABCD$, on trace le cercle qui passe par $A, B, D$ : centre $J$, puis celui qui passe par $B, C, D$ : centre $K$. Soit $E$ le point de concours de $(AB)$ et $(CD)$ (côtés non pa rallèles).

    .
    Alors les deux angles $\widehat{JEA}$ et $\widehat{KED}$ sont égaux.

    .

    - Sur le cercle de centre $J$, $\widehat{BDA}=\widehat{BJA}/2$

    - Sur le cercle de centre $K$, $\widehat{CBD}=\widehat{CKD}/2$

    - Dans le trapèze, $\widehat{CBD}=\widehat{BDA}$

    Les angles $\widehat{CKD}$ et $\widehat{BJA}$ sont donc égaux, et donc aussi $\widehat{ABJ}, \widehat{BAJ}, \widehat{KCD}, \widehat{KDC}$

    D’où (ils sont supplémentaires) $\widehat{KCE}$ et $\widehat{JBE}$ égaux

    Les triangles $JAB$ et $KCD$ sont semblables de sorte que $JA/KD=R/r=AB/CD$
    (je note $R$ et $r$ les rayons)

    Les triangles $EBC$ et $EAD$ sont semblables : on en tire $EB/EC=R/r$.

    Les triangles $EBJ$ et $ECK$ sont semblables (angles en $B$ et $C$ égaux, côtés dans le rapport $R/r$).
    Leurs angles en $E$ sont donc égaux.

    Document joint : idm5-2-10.jpg
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    • 5.2.10

      le 5 août à 16:47, par Sidonie

      Rien à ajouter, comme vous le disiez récemment . Démonstration efficace, dommage qu’elle ne s’applique pas au défi précédent. Je sèche toujours sur le parallélisme qui pourtant achèverait la démonstration.

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      • 5.2.10

        le 5 août à 17:15, par Hébu

        oui, le parallélisme (JE et KF //AD) est une voie. peut être la similitude pourrait aussi aider, un peu comme ici. Par exemple si on regarde GED et GJC, ou des triangles liés ?) Mais je n’ai pas la solution...

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      • 5.2.10

        le 7 août à 21:31, par Hébu

        Et je sèche itou. En appliquant l’idée du 5.2.10 au 9, je suis arrivé à votre résultat (l’égalité des angles GLD et GMC), qui implique aussi que AD/BC=R/r, comme pour 5.2.10 avec deux interprétations différentes des R et r ! Symbole, ou piste ?

        Autre « trouvaille », G, A, F, C d’une part ; G, B, F, D de l’autre, sont cocycliques (je le constate, sans le démontrer)

        .
        Ce qui fait jouer à F un rôle particulier.

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  • 5.2.10

    le 12 août à 20:03, par Sidonie

    En fait F est le point de Miquel du quadrilatère complet GACBD, d’où les 4 cercles.

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