Figure sans paroles #5.4.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.1

    le 3 septembre à 14:31, par Hébu

    Pour ce qui est de la condition suffisante, on peut s’en sortir par un raisonnement poussif :

    .
    supposons l’égalité des sommes des longueurs. On peut construire le cercle tangent à $AB, AD$ et $BC$. Depuis $C$ on trace la tangente $CD'$ au cercle — elle coupe la droite $(AD)$ au point $D'$.

    .
    Le quadrilatère $ABCD'$ sera inscriptible par construction, et $AD'+BC=AB+CD'$ ; supposant $D'$ entre $A$ et $D$, on écrit $AD+DD'+BC=AB+CD'$. De l’hypothèse et de cette dernière égalité on déduit $AB-BC=AD-CD=AD+DD'-CD'$ soit $CD'=CD+DD'$ — ce qui implique $C, D, D'$ alignés, et impose que $D$ et $D'$ soient confondus. (si on prend $D'$ extérieur à $AD$, même raisonnement)

    Document joint : quadri.jpg
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