Figure sans paroles #5.4.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.12

    le 18 novembre à 15:18, par Hébu

    ABCD est à la fois inscriptible et circonscriptible. On note E, F, G, H les points de tangence du cercle circonscrit avec les côtés.

    .
    Les segments EG et FH se coupent à angle droit !

    .
    Je ne sais pas le montrer, mais (j’ignore si ça fera avancer les choses), je remarque que le point de concours de EG et FH (le point P) est aussi point de rencontre des diagonales AC et BD.

    .
    Et cette propriété est vraie même pour un quadrilatère non-inscriptible.

    A suivre

    Document joint : idm5-4-12.jpg
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  • 5.4.12

    le 24 novembre à 15:38, par Hébu

    Eh bien, on n’a pas besoin de cette propriété ($EG$ et $FH$ se coupent au point d’intersection de $AC$ et $BD$) !

    .
    $O$ est le centre du cercle inscrit dans le quadrilatère $ABCD$.

    1/ les points $O, F, B, E$ sont cocycliques, puisque $BE$ et $BF$ sont tangentes à $(c_1)$. Et donc $\widehat{FBE}+\widehat{FOE}=\pi$. (1)

    .
    2/ Même chose pour $O, H, D, G$ : $\widehat{HDG}+\widehat{GOH}=\pi$. (2)

    3/ Mais sur $(c_2)$, $A, B, C, D$ cocycliques, donc $\widehat{FBE}+\widehat{HDG}=\pi$. (3)

    .
    Conclusion, $\widehat{FBE}=\widehat{GOH}$. (4)

    .
    L’angle $\widehat{FPE}$, intérieur au cercle $(c_1)$, vaut la demi-somme des arcs qu’il intercepte :

    $\widehat{FPE}=(\widehat{FOE}+\widehat{GOH})/2$,

    soit $\widehat{FPE}=(\widehat{FOE}+\widehat{FBE})/2$, en vertu de (4)
    et donc $\widehat{FPE}=\pi/2$ grâce à (1)

    .

    Ouf ! Juste à temps pour l’énigme de demain

    Document joint : idm5-4-12-2.jpg
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    • 5.4.12

      le 24 novembre à 17:45, par Sidonie

      Magnifique démonstration, où vous employez une propriété des angles intérieurs que j’ignorais bien qu’elle soit assez facile à démontrer. A demain donc.
      La figure est fort riche bien que je ne démontre rien : (EF) et (GH) sont les bissectrices des diagonales, les centres O et I des cercles inscrit et circonscrit sont alignés avec P, les cercles passant par I,A, C d’une part et I,B,D d’autre part se recoupent en J point de de (OI) et en division harmonique avec O,I,P., les droites (OA), (OB), (OC), (OD) sont des tangentes à ces deux cercles et j’en oublie sans doute : on a de quoi s’amuser.

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      • 5.4.12

        le 24 novembre à 21:31, par Hébu

        Oui, il y a de quoi se délecter, il est probable que le « cumul » des propriétés QI et QC provoque un tas de propriétés nouvelles. En fait, c’est la principale beauté que je vois dans la figure, et dans la démonstration qu’elle suscite : il faut utiliser l’existence des deux cercles — on a l’angle droit parce qu’on a les cercles (c_1) et (c_2).

        Mais attendons la suite...

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