Commentaire sur l'article

• 5.4.12

  le 18 novembre 2019 à 15:18, par Hébu

  ABCD est à la fois inscriptible et circonscriptible. On note E, F, G, H les points de tangence du cercle circonscrit avec les côtés.

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  Les segments EG et FH se coupent à angle droit !

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  Je ne sais pas le montrer, mais (j’ignore si ça fera avancer les choses), je remarque que le point de concours de EG et FH (le point P) est aussi point de rencontre des diagonales AC et BD.

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  Et cette propriété est vraie même pour un quadrilatère non-inscriptible.

  A suivre

  Document joint : idm5-4-12.jpg
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• 5.4.12

  le 24 novembre 2019 à 15:38, par Hébu

  Eh bien, on n’a pas besoin de cette propriété ($EG$ et $FH$ se coupent au point d’intersection de $AC$ et $BD$) !

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  $O$ est le centre du cercle inscrit dans le quadrilatère $ABCD$.

  1/ les points $O, F, B, E$ sont cocycliques, puisque $BE$ et $BF$ sont tangentes à $(c_1)$. Et donc $\widehat{FBE}+\widehat{FOE}=\pi$. (1)

  .
  2/ Même chose pour $O, H, D, G$ : $\widehat{HDG}+\widehat{GOH}=\pi$. (2)

  3/ Mais sur $(c_2)$, $A, B, C, D$ cocycliques, donc $\widehat{FBE}+\widehat{HDG}=\pi$. (3)

  .
  Conclusion, $\widehat{FBE}=\widehat{GOH}$. (4)

  .
  L’angle $\widehat{FPE}$, intérieur au cercle $(c_1)$, vaut la demi-somme des arcs qu’il intercepte :

  $\widehat{FPE}=(\widehat{FOE}+\widehat{GOH})/2$,

  soit $\widehat{FPE}=(\widehat{FOE}+\widehat{FBE})/2$, en vertu de (4)
  et donc $\widehat{FPE}=\pi/2$ grâce à (1)

  .

  Ouf ! Juste à temps pour l’énigme de demain

  Document joint : idm5-4-12-2.jpg
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• 5.4.12

  le 24 novembre 2019 à 17:45, par Sidonie

  Magnifique démonstration, où vous employez une propriété des angles intérieurs que j’ignorais bien qu’elle soit assez facile à démontrer. A demain donc.
  La figure est fort riche bien que je ne démontre rien : (EF) et (GH) sont les bissectrices des diagonales, les centres O et I des cercles inscrit et circonscrit sont alignés avec P, les cercles passant par I,A, C d’une part et I,B,D d’autre part se recoupent en J point de de (OI) et en division harmonique avec O,I,P., les droites (OA), (OB), (OC), (OD) sont des tangentes à ces deux cercles et j’en oublie sans doute : on a de quoi s’amuser.

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• 5.4.12

  le 24 novembre 2019 à 21:31, par Hébu

  Oui, il y a de quoi se délecter, il est probable que le « cumul » des propriétés QI et QC provoque un tas de propriétés nouvelles. En fait, c’est la principale beauté que je vois dans la figure, et dans la démonstration qu’elle suscite : il faut utiliser l’existence des deux cercles — on a l’angle droit parce qu’on a les cercles (c_1) et (c_2).

  Mais attendons la suite...

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