Figure sans paroles #5.4.16

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.16

    le 16 décembre 2019 à 18:52, par Hébu

    Un point $A$, deux demi-droites $(Ax)$ et $(Ay)$, et un cercle $(C_1)$ tangent à ces deux demi-droites (on note $B$ son centre).

    .
    Une troisième demi-droite $(Az)$ découpe deux secteurs dans l’angle $A$, et soient $C$ et $D$ les centres de deux cercles $(C_2)$ et $(C_3)$, tangents repectivement à $(Ax)$ et $(Az)$ et $(Ay)$ et $(Az)$.

    .
    Alors on peut trouver un point $Z$, d’où on peut tracer des tangentes, communes à $(C_1)$ et $(C_2)$, à $(C_2)$ et $(C_3)$, et à $(C_1)$ et $(C_3)$.

    .

    Soit $E$ l’intersection de $CD$ avec $(Az)$. Il est clair que « l’autre » tangente commune à $(C_2)$ et $(C_3)$ passe par $E$, $CD$ étant la bissectrice de l’angle entre les deux tangentes

    La configuration des tangentes autorise une ribambelle particulière :
    $ AJ = AI; AP = AN; AM = AL$

    soit $AP - AJ + AI - AL = AN - AI + AI - AM = MN$ ; autrement dit $JP + LI = MN$

    .
    De la même façon (supposons que la figure finale ait été obtenue, $OH + KQ = RS$

    Et évidemment $RS=MN$. Cela peut-il mener quelque part ?

    .
    D’autre part, la droite $(BD)$ coupe $(Ay)$ en un point $F$. S’il existe une tangente commune, elle passe en $F$, la droite $(BD)$ étant la bissectrice de l’angle en $F$.

    D’où la construction :

    • par le point $E$ (intersection de $CD$ et $(Az)$, mener une droite $(u)$ symétrique à $(Az)$ par rapport à $CD$.
    • tracer $BD$ qui coupe $(Ay)$ en $F$, puis tracer une droite $(v)$ symétrique de $(Ay)$ — c’est à dire que $FB$ est bissectrice de $(Ay, Fv)$.
    • L’intersection de $(u)$ et $(v)$ donne le point $Z$

    .

    Document joint : idm5-4-16.jpg
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  • 5.4.16

    le 16 décembre 2019 à 18:59, par Hébu

    En réalité, cette proposition construit un point $Z$, dont on peut tirer une tangente commune aux cercles $(B), (D)$, une commune aux cercles $(B), (C)$, ceci par construction.

    .
    Reste à montrer qu’on a aussi une troisième tangente !

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  • 5.4.16

    le 17 décembre 2019 à 10:10, par Sidonie

    Remarque préliminaire, si A est envoyé vers l’infini on tombe sur le 5.2.2.

    Je trace C2 tangent à 2 demi-droites issues de A et une tangente en Q. Sur cette tangente un point Z et de Z la tangente en S. Une autre demi-droite issue de A est tracée. Les cercles C3 et C1 sont désormais forcés. (3 de leurs tangentes sont connues). Je trace (ZO) l’autre tangente à C3 issue de Z.

    C2 et C3 sont insérés dans deux QC de diagonales (EF) et (EG) qui se prolongent en quadrilatères complets avec les mêmes sommets supplémentaires A et Z : donc l’ellipse de foyers A et Z passant par E passe par F et G.

    Grâce à vous l’ellipse est devenue une CNS de QC donc FTGU devient un QC et son cercle ne peut être que C1.

    Il se peut que (ZF) soit parallèle à (AL) mais alors la bissectrice de FAL coupera (ZF) en formant un losange et on arrive à la même conclusion.

    Je profite de ce message pour vous conseiller d’aller voir le 5.4.13 où je démontre des points intéressants.

    Document joint : fsp_5.4.16.jpg
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    • 5.4.16

      le 17 décembre 2019 à 12:11, par Hébu

      oui ! bien vu ! Je n’étais pas arrivé à retrouver le QC dans mon dessin ...

      Jolie construction.

      Je vais dans la foulée consulter le 5.4.13. Pour ma part, j’ai ajouté une contribution modeste au 5.4.14 (modeste, parce que je n’ai rien inventé, mais c’est là aussi une preuve pleine de poésie)

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    • 5.4.16

      le 17 décembre 2019 à 14:42, par Hébu

      J’ai quand même un point qui me chafouine. Votre construction place le point Z avant d’achever de tracer les cercles. Si on regarde la figure, il me semble que l’interprétation orthodoxe sera de se donner A, les cercles, PUIS d’en déduire le point Z ?

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      • 5.4.16

        le 18 décembre 2019 à 10:42, par Sidonie

        On commence par tracer les 3 cercles. La symétrique de Ax par rapport à (BC) est une tangente commune à C1 et C2. La symétrique de Ay par rapport à (CD) est une tangente commune à C2 et C3. Si ces deux droites sont sécantes on obtient le point Z et on poursuit comme indiqué sinon elles sont parallèles et on obtient la configuration du 5.2.2.

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