Figure sans paroles #5.4.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.17

    le 23 décembre 2019 à 15:48, par Sidonie

    Trop de notations pour décrire la figure.

    J’applique une version de la figure précédente :
    Si dans un QC ABCD complété par E et F deux droites issues de E et F forment un QC avec avec deux côtés alors elles en forment un autre avec les deux autres côtés.

    Par exemple ABCD avec (EG) et (FI) forment le QC DGHI et donc BJHK est un QC
    ce que j’écris ABCD - DGHI = BJHK

    De même
    ABCD - CQSI = AJSR
    AGNP - AJSR = HNOS
    BJHK - HNOS = BOPQ ce qu’il fallait démontrer.

    Document joint : fsp_5.4.17.jpg
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    • 5.4.17

      le 27 décembre 2019 à 19:06, par Hébu

      magnifique argumentation ! Peut-être peut-on (laborieusement) écrire les « différences » de quadrilatères en utilisant des ribambelles ? Mais ça ne semble pas immédiat
      .
      En tout cas, belle idée. A la clé, une arithmétique des QC ?

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    • 5.4.17

      le 28 décembre 2019 à 17:18, par Hébu

      J’ai essayé d’illustrer l’arithmétique des QC, et le tracé de quelques ellipses vient m’éclairer tout cela.

      .
      Donnons-nous $E$ et $F$ comme foyers, on trace une ellipse $c_2$, sur laquelle on pose les points $B$ et $D$. Traçant $FD, FB$, $ED, EB$, on ferme $ABCD$.

      .
      Si maintenant je pose le point $H$ sur cette même ellipse, traçant $FH, EH$ je ferme $DGHI$. ce sont évidemment, par construction, deux QC (ou plutôt, en vertu de la CNS qu’on a rencontrée précédemment).

      Mais je peux aussi combiner $B$ et $H$ : $BJHK$ sera un troisième QC, pour la même raison.

      .
      Jusque là on est tout à fait dans la droite ligne du 5.4.16. On innove avec les deux suivants : $ABCD - CQSI = AJSR$. On a là deux ellipses ($c_2$ et $f_2$), de mêmes foyers. Mais tels que $FQ$ et $FB$ soient confondus (c’est à dire que $Q$ et $I$ sont tels que $EQ$ coupe $FA$ sur $c_2$, etc). De sorte que $J$ et $R$ sont bien placés pour que $AJSR$ soit QC.

      .
      Et on s’aperçoit ainsi que notre QC a fait des petits !

      .
      Une petite découverte, pour finir. Les centres des trois cercles intérieurs, complétés pour le centre du nouveau cercle, forment un quadrilatère. Qui, lui aussi, est un QC ! Mais l’ellipse qui l’engendre est différente

      Document joint : idm5-4-17-commentaire.jpg
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