Figure sans paroles #5.4.18

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.18

    le 30 décembre 2019 à 13:34, par Hébu

    La fin de l’année nous vaut une dernière énigme plutôt « cool » !

    . Depuis les sommets d’un quadrilatère $ABCD$ on trace les normales aux bissectrices, qui vont se couper en $E, F, G, H$. Et depuis ces nouveaux sommets on mène des perpendiculaires aux côtés du quadrilatère d’origine.
    .
    Ces perpendiculaires se coupent en $I, J,K,L$ — formant un quadrilatère circonscriptible !

    .

    Dans le triangle $EIH$, les angles en $H$ et $E$ sont égaux, comme complémentaires aux angles $\widehat{ECB}$ et $\widehat{HCD}$ ; il est isocèle.

    Même argument pour les triangles $EKF$, $FJG$ et $HLG$.

    On a donc les paires de côtés égaux : $EI=HI$ ; $FJ=GJ$ ; $FK=EK$ ; $HL=GL$

    La conséquence : dans le quadrilatère $IKJL$,

    $ IL + JK - JL - IK = 0 $

    Il est bien QC.

    Document joint : idm5-4-18.ggb
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    • 5.4.18

      le 30 décembre 2019 à 16:18, par Sidonie

      Lumineux, je n’ai même plus le temps de prendre connaissance du problème posé. Tous mes vœux pour cette nouvelle année à vous ainsi qu’ à tout éventuel lecteur.

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      • 5.4.18

        le 30 décembre 2019 à 21:43, par Hébu

        Oh, pas de quoi pavoiser, l’énigme du jour était assez transparente ! Cela me donne l’illusion de répondre plus vite que mon ombre - qui bouderait sa minute de gloire ?

        .
        Et je m’associe à ces vœux - on a l’impression d’être seuls, sur ce blog, mais peut-être n’est-ce qu’une impression. Que l’année qui vient soit géométriquement fructueuse donc - et qu’elle nous procure l’occasion d’échanges !

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  • 5.4.18

    le 31 décembre 2019 à 18:42, par Aziz El Kacimi

    Bonjour Sidonie et Hebu,

    Merci d’avoir entretenu et fait vivre cette rubrique « Figures sans paroles », régulièrement et sans relâche !

    Non ! vous n’êtes pas seuls : personnellement, je lis toujours vos échanges et vos propositions de solutions.

    Je vous souhaite une bonne et heureuse année 2020 !

    Bien cordialement,

    Aziz El Kacimi

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    • 5.4.18

      le 2 janvier à 21:35, par Hébu

      Bonjour Aziz,
      .

      Ça a été un plaisir, et j’espère que cela continuera, que de contribuer à cette rubrique ! Nos absences reflètent nos carences... Ceci étant, nous osons espérer d’autres lecteurs, d’autres contributeurs — Qui proposeraient d’autres voies. Ce que m’apprend cette rubrique, c’est qu’il y a toujours plusieurs solutions.

      .
      Et de m’interroger : sont-elles « équivalentes », y en a-t-il de plus simples, etc. J’espère pouvoir me faire un avis avant la dernière figure proposée !

      .
      Bonne année à vous, donc, longue vie à cette rubrique, et aux géomètres amateurs !

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    • 5.4.18

      le 5 janvier à 23:27, par Sidonie

      Bonjour Aziz

      Je n’ai rien à ajouter aux propos d’Hébu. Toutefois j’ai apprécié votre « compte rendu » des 20°. Il est rare d’avoir la démarche d’une recherche faite d’impasses, de retours, de railmovie même, puis le « haha » de l’idée qui mène à la solution. Cela rassure les amateurs que nous sommes.

      Bien cordialement

      Sidonie

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