Figure sans paroles #5.4.18

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.18

    le 30 décembre 2019 à 13:34, par Hébu

    La fin de l’année nous vaut une dernière énigme plutôt « cool » !

    . Depuis les sommets d’un quadrilatère $ABCD$ on trace les normales aux bissectrices, qui vont se couper en $E, F, G, H$. Et depuis ces nouveaux sommets on mène des perpendiculaires aux côtés du quadrilatère d’origine.
    .
    Ces perpendiculaires se coupent en $I, J,K,L$ — formant un quadrilatère circonscriptible !

    .

    Dans le triangle $EIH$, les angles en $H$ et $E$ sont égaux, comme complémentaires aux angles $\widehat{ECB}$ et $\widehat{HCD}$ ; il est isocèle.

    Même argument pour les triangles $EKF$, $FJG$ et $HLG$.

    On a donc les paires de côtés égaux : $EI=HI$ ; $FJ=GJ$ ; $FK=EK$ ; $HL=GL$

    La conséquence : dans le quadrilatère $IKJL$,

    $ IL + JK - JL - IK = 0 $

    Il est bien QC.

    Document joint : idm5-4-18.ggb
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