Figure sans paroles #5.5.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.5.3

    le 20 janvier à 11:54, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère inscriptible dans un cercle de centre O. X est un point tel que $\widehat {XAD}$=$\widehat {BAC}$ et $\widehat {XCD}$=$\widehat {ACB}$. Il semblerait que XC=XD.

    X est l’intersection entre les symétriques de (AC) par rapport aux bissectrices intérieures de $\widehat {BAD}$ et $\widehat {BCD}$. Soit E et F les points d’intersection de ces bissectrices avec le cercle circonscrit.
    Dans un triangle le point d’intersection entre une bissectrice intérieure et le cercle circonscrit appartient à la médiatrice du côté opposé. En appliquant aux triangles BAD et BCD on (EF) médiatrice de ([BD] et donc aussi diamètre du cercle.

    G et H sont les symétriques de C et A par rapport à (EF). les arcs CE et EG d’une part et AF et FH d’autre part sont égaux donc (AE) et (CF) sont les bissectrices de $\widehat {CAG}$ et $\widehat {ACH}$ . X est alors l’intersection entre (AG) et (CH) droites symétriques par rapport à (EF) avec leur intersection X appartenant nécessairement à (EF) médiatrice de [BD].

    Document joint : fsp_5.5.3.jpg
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    • 5.5.3

      le 20 janvier à 14:13, par Hébu

      Oui, j’ai abordé la chose avec l’idée d’utiliser les symétries — mais je ne manipule pas trop. Alors, j’ai une preuve, qui doit être probablement équivalente, tout en ayant un autre aspect... (mêmes notations que votre figure)

      .
      Je trace les bissectrices des angles en $A$ et $C$ du quadrilatère : droites $CF$ et $AE$. Elles sont aussi bissectrices de $\widehat{ACH}$ et $\widehat{CAG}$.

      Clairement, les arcs $BE$ et $DE$ sont égaux (et donc aussi les cordes) ; de même pour $DF$ et $BF$. $(EF)$ est donc la médiatrice de $BD$ — c’est donc un diamètre du cercle.

      $F$ (resp. $E$) milieu des arcs $AH$ (resp. $CG$), donc les segments $AH$ et $CG$ perpendiculaires à $EF$, $AHGC$ est un trapèze isocèle, de sorte que $X$ est sur $EF$.

      Et puisque $EF$ est médiatrice de $BD$, alors les segments $XB$ et $XD$ sont de même longueur.

      .
      Commentaires : $EF$ est axe de symétrie ($H, D, G$ symétriques de $A, B, C$).
      On peut aussi voir les triangles $HDG$ et $ABC$ comme symétriques ; de même $ABCD$ et $HDGB$ quadrilatères symétriques, etc.

      .
      Cette figure me fait penser à une petite fable, dont je tire une morale — simple, mais inattendue :

      .
      La médiatrice de la diagonale d’un quadrilatère inscriptible coupe le cercle en deux points extrémités des bissectrices des angles des deux autres sommets du quadrilatère.

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