Figure sans paroles #5.5.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.5.6

    le 10 février à 18:55, par Sidonie

    Inutile de faire une figure .

    $\alpha$ est l’angle inscrit interceptant a
    $\beta$ est l’angle inscrit interceptant b
    $\gamma$ est l’angle inscrit interceptant c
    $\delta$ est l’angle inscrit interceptant d

    Leur somme est $\pi$ puisque à eux 4 ils interceptent la totalité du cercle.

    En appliquant la loi des sinus successivement aux 4 triangles formés par deux côtés consécutifs et une diagonales on arrive à une loi des sinus pour les QI.

    $\frac{a}{sin\alpha}$ = $\frac{b}{sin\beta}$ = $\frac{c}{sin\gamma}$ = $\frac{d}{sin\delta}$ = $\frac{e}{sin(\beta+\alpha})$ = $\frac{f}{sin(\beta+\gamma)}$

    En multipliant 1 par 3 et 5 par 6 puis en chassant le dénominateur du premier membre il vient :
    ac = ef $\frac{sin\alpha.sin\gamma}{sin(\beta+\alpha)(sin\beta+\gamma)}$
    De m^me avec 2 et 4 il vient bd = ef$\frac{sin\beta.sin\delta}{sin(\beta+\alpha)(sin(\beta+\gamma))}$

    Et en ajoutant ac + bd = ef $\frac{sin\alpha.sin\gamma+sin\beta.sin\delta}{sin(\beta+\alpha)(sin(\beta+\gamma))}$

    Reste à démontrer que numérateur = dénominateur.
    ${sin(\beta+\alpha)(sin(\beta+\gamma))}$ = $(sin\beta.cos\alpha+cos\beta.sin\alpha)(sin\beta.cos\gamma+cos\beta.sin\gamma)$ = $sin^2\beta.cos\alpha.cos\gamma+cos^2\beta.sin\alpha.sin\gamma+sin\beta.cos\beta(cos\alpha.sin\gamma+cos\alpha.sin\gamma)$ = $sin\alpha.sin\gamma +sin^2\beta.(cos\alpha.cos\gamma-sin\alpha.sin\gamma)+sin\beta.cos\beta(cos\alpha.sin\gamma+cos\alpha.sin\gamma)$ = $sin\alpha.sin\gamma+sin\beta(sin\beta.cos(\alpha+\gamma)+cos\beta.sin(\alpha+\gamma))$ = $sin\alpha.sin\gamma+sin\beta.sin(\alpha+\beta+\gamma)$ = $sin\alpha.sin\gamma+sin\beta.sin(\pi-\delta)$ = $sin\alpha.sin\gamma+sin\beta.sin\delta$.

    CQFD

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    • 5.5.6

      le 11 février à 12:01, par Hébu

      Impressionnante manipulation trigonométrique ! Bravo !

      .
      En furetant dans wikipedia, j’ai appris que cette égalité nous venait de Ptolémée

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      • 5.5.6

        le 11 février à 14:32, par Sidonie

        Merci pour votre remarque. Je cherche rarement sur internet mais de fait, il existe des démonstrations plus agréables que la mienne. J’aurai aimé les trouver mais pour une une fois les calculs se sont présentés rapidement et un petit tour sur la trigonométrie ne nous fait pas trop de mal. Enfin, j’espère.

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        • 5.5.6

          le 11 février à 15:38, par Hébu

          « il existe des démonstrations plus agréables que la mienne » — la notion de démonstration agréable serait à formaliser ! Voire à axiomatiser...
          .
          Sérieusement. Il existe je crois beaucoup de preuves de ce résultat, qui semble avoir attiré l’intérêt des géomètres. Mais, à la base, toutes les démonstrations se ramènent aux principes de base, via éventuellement des pages de raisonnements.

          .
          L’intérêt de cette preuve trigonométrique est de ne pas faire appel à des notions pointues. Une preuve, évoquée sur wikipedia, fait appel à l’inversion. Elle est peut-être plus courte, mais il faut pour la comprendre avoir sûrement lu le tome 12 des oeuvres completes d’Euclide et de Monge !

          Donc, j’apprécie cette preuve (n’ayant pas encore lu le tome 12).

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