Figure sans paroles #5.5.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.5.7

    le 23 février à 20:36, par Sidonie

    Je suis inquiète, il me semble que la figure proposée soit fausse.
    Un cercle de centre O et de rayon R , un point A à l’intérieur, deux cordes perpendiculaires passant par A et 4 cercles tangents aux 2 cordes et, intérieurement, au cercle.

    Construction : je me suis inspirée d’une méthode dite de Viète trouvée sur internet. On trace le cercle de centre A et de rayon R (en pointillé sur la figure), aux extrémités des diamètres perpendiculaires on trace 4 tangentes formant un carré partagé en 4 quadrants contenant un des petits cercles. D est le sommet du quadrant qui contient le cercle de centre F et de rayon r. A,F et D sont alignés sur la diagonale du carré. Il existe une homothétie qui transforme le cercle pointillé en petit cercle et qui transforme les tangentes issues de D en tangentes issues de A. Son rapport est r/R.
    on a donc AF/DA = r/R mais aussi FE =r et OE = R et donc AF/AD = EF/OE avec alors (AE)//(DO).
    Pour construire la figure il suffit de prendre un sommet du carré, de le joindre à O , de tracer la parallèle passant par A elle coupe le cercle au point de tangence commun, on trace le rayon qui passe par ce point, il coupe la diagonale au centre du petit cercle..

    Ayant besoin de deux figures je continuerai dans le prochain message.

    Document joint : fsp_5.5.7.jpg
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  • 5.5.7

    le 24 février à 00:18, par Sidonie

    Sur la figure seul 2 cercles ont conservé leurs traits de construction, les 2 autres n’ont que leurs centres T et V ainsi que leurs points de contact avec le grand cercles S et U. Certains traits ont été prolongés et un point semble porter 2 nom K et W. En réalité K est l’intersection entre (OA) et (GE) alors que W est l’intersection entre (OA) et (SU).

    Les droites (AE),(AF),(AI) et (AO) forment un faisceau harmoniques. En effet dans le triangle DON on a par construction (ON)//(AM) et A milieu de [DN] donc M est le milieu de [OD].
    (OD) est donc une parallèle à (AF) qui coupe les 3 autres droites en formant deux segments égaux ceci caractérise un faisceau harmonique.

    Ce faisceau coupe (OE) et (OG) en division harmonique : O, F et I, E d’une part et O, J et O,H et J, G d’autre part. Ce qui donne deux nouveaux faisceaux harmoniques ((EO),(EJ),(EH),(EG) et (GO),(GI),(GF),(GE).

    Chacun de ces faisceaux coupent (OA) en 4 points en division harmonique ; Or 3 points sont les mêmes O, A et K donc le quatrième est aussi le même L.

    Ceci prouve que les droites de la figure entre deux cercles opposés ont leur point d’intersection sur (OA) et qu’il est avec O en division harmonique avec A et K.

    Si maintenant les droites avec les 2 autres cercles étaient sécantes avec les deux premières alors K et W seraient confondus ce qui n’est pas le cas, sauf si une des cordes initiales était un diamètre mais la symétrie de la figure rend alors tout évident.

    La figure jointe est un zoom sur la figure précédente qui montre bien que K et W sont distincts. En fait le zoom peut être fait sitôt la construction achevée sur le « point » d’intersection des 4 droites, j’avoue ne pas y avoir pensé, confiante dans l’auteur des figures mais alors où aurait été le plaisir ?

    Document joint : fsp_5.5.7_zoom.jpg
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  • 5.5.7

    le 24 février à 10:43, par amic

    Il me semble que ce n’est pas précisé que les cordes soient perpendiculaires… D’autre part, je ne vois pas sur votre figure les droites joignant « centre de cercle intérieur » - « point de tangence du cercle en face ». Avec un petit zoom, ce serait une manière de visualiser l’erreur, autrement qu’en passant par les points intermédiaires K et W (j’avoue ne pas être très calé en divisions harmoniques).

    Mais peut-être qu’il faudrait lire l’énoncé comme « Si trois de ces droites sont concourantes, alors la quatrième passe par le même point » ? Ce serait un énoncé un peu plus faible. Mais est-ce le cas ? Je n’en ai aucune idée, ayant un peu la flemme de construire la figure (sachant que je ne suis pas sûr de pouvoir assurer la condition de trois droites concourantes…).

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    • 5.5.7

      le 24 février à 15:34, par Sidonie

      Bonjour,

      Il est vrai que la perpendicularité n’est pas précisée. Dans ce cas la construction ne change qu’au départ : il suffit de remplacer le carré par un losange dont les côtés sont parallèles aux cordes et tangents au deuxième cercle. La construction se poursuit de la même façon et toute mon argumentation reste valable et donc démontre bien votre hypothèse faible que je vous remercie d’avoir évoquée.
      Ma figure ne représente pas les droites supplémentaires puisque j’ai décalé le problème à chercher si K et W étaient confondus, et le zoom direct sur le pseudo point d’intersection est évoqué à la fin de mon deuxième message.

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      • 5.5.7

        le 1er mars à 17:24, par Hébu

        Bonjour !

        Accaparé par d’autres occupations, j’ai quelque peu délaissé nos figures — et n’ai donc pas suivi ces échanges. Mais effectivement, la figure proposée semble « fausse » — ou bien la proposition à montrer est d’un autre ordre ?

        Reste la construction, non triviale, des cercles tangents

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