Figure sans paroles #5.6.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.5

    le 14 avril à 00:00, par Sidonie

    Bonsoir

    Il ne vous surprendra pas que je propose une méthode différente.

    Tout d’abord je complète une propriété des quadrilatères complets au noyau cocyclique : Si le quadrilatère ABCD complété par E et F est inscrit dans un cercle de centre O avec G point d’intersection des diagonales [AC] et [BD] alors (OG) est perpendiculaire à (DE) (déjà vu) et le point d’intersection est le point de Steiner (conséquence du 4.8.18).

    J’appelle S le point de Steiner. Il reste à prouver qu’il appartient aux cercles AOC et BOD. On sait qu’il appartient aux cercles circonscrits aux 4 triangles formés par le quadrilatère complet. Donc les cercles ABE et CBX passent par S.

    Les angles $\widehat {ASE}$ et $\widehat {CSX}$ sont opposés à $\widehat {ABC}$ dans chacun des 2 cercles : ils sont égaux . (DE) est la bissectrice extérieure de $\widehat {ASC}$, sa perpendiculaire (SO) devient la bissectrice intérieure. La médiatrice de la corde [AC] passe par O qui est donc sur le cercle circonscrit à ACS un des cercles de la figure.

    (AC) est l’axe radical des cercles ABC et AOC. (BD) est l’axe radical des cercles ABC et BOD donc leur intersection G a même puissance par rapport aux 3 cercles et (OG) est l’axe radical des cercles AOC et BOD. (OG) recoupe le cercle AOC en S qui est donc le deuxième point d’intersection et appartient alors au cercle BOD.

    Document joint : fsp_5.6.5.jpg
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