Figure sans paroles #5.6.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.6.12

    le 1er juin à 14:58, par Hébu

    D’un point $A$ sur une circonférence $(c)$ partent deux demi-droites, recoupant le cercle en $B$ et $D$. D’un point $F$ situé entre $B$ et $D$, on construit $BF$ qui coupe $AD$ en $E$ et $DF$ qui coupe $AB$ en $C$.

    Un cercle $(c_2)$ passe par $E,D,C$ ; un cercle $ (c_3)$ passe par $E, C,A$. $(c_2)$ coupe $(c)$ en $G$ ; $(c_3)$ coupe $(c)$ en $J$.

    $M$ est le milieu de $EF$.

    Il faut montrer que $M, B, G$ d’une part, et $M, F, J$ de l’autre sont alignés.

    .
    Cette figure ressemble fortement à la précédente (j’ai essayé de nommer les points pour aider la ressemblance). Difficile de la « transformer » pour passer de l’une à l’autre. Mais les arguments pour la preuve sont identiques, de sorte que le mérite de cette proposition est voisin de 0.

    .
    On pose le point $H$ symétrique de $B$ par rapport à $M$, de sorte que $BCHE$ est un parallélogramme, $BC$ // $HE$, $BE$// $CH$.

    L’argumentation parodie celle donnée par Sidonie pour la figure 5.6.11. Je m’essaie à l’emploi des angles orientés.

    Le parallélogramme autorise $(HE, HC)= (BC,BE)= (BE,BA)=(DE, DC)$ (la dernière égalité puisque $A, B, D, F$ sont cocycliques, et donc $H$ sur le cercle $(c_2)$.

    .
    Ensuite : $(HE,HG)=(DG,DE)=(DG,DA)=(BC,BG)$

    .
    Puis $(HB,HG)=(HB,HE)+(HE,HG)$. A cause du parallélogramme, $(HB,HE)=(BH,BC)$. Donc, $(HB,HG)= (BH,BC)+(BC,BG)=(BH,BG)$.

    Ce qui, à nouveau, établit l’alignement $H,M,B,G$

    .
    On règle le sort à $M, F, J$ de la même façon ($K$ symétrique de $F$ par rapport à $M$, etc.)

    .
    Les figures , quoique différentes, ressortissent de la même preuve. Cependant, le point M, quand on passe de 5.6.11 à 5.6.12, n’est plus milieu du même segment. Il y a sûrement quelque chose derrière, à approfondir

    Document joint : idm5-6-12.jpg
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    • 5.6.12

      le 2 juin à 17:06, par Sidonie

      0 de mérite, je vous trouve bien dur avec vous même. La démonstration mathématique s’appuie largement sur le réemploi, vous ne faites rien d’autre, mais le faites bien. J’espère que vous appréciez les simplifications qu’apportent les angles orientés de droites.

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