Figure sans paroles #5.6.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.12

    le 1er juin à 14:58, par Hébu

    D’un point $A$ sur une circonférence $(c)$ partent deux demi-droites, recoupant le cercle en $B$ et $D$. D’un point $F$ situé entre $B$ et $D$, on construit $BF$ qui coupe $AD$ en $E$ et $DF$ qui coupe $AB$ en $C$.

    Un cercle $(c_2)$ passe par $E,D,C$ ; un cercle $ (c_3)$ passe par $E, C,A$. $(c_2)$ coupe $(c)$ en $G$ ; $(c_3)$ coupe $(c)$ en $J$.

    $M$ est le milieu de $EF$.

    Il faut montrer que $M, B, G$ d’une part, et $M, F, J$ de l’autre sont alignés.

    .
    Cette figure ressemble fortement à la précédente (j’ai essayé de nommer les points pour aider la ressemblance). Difficile de la « transformer » pour passer de l’une à l’autre. Mais les arguments pour la preuve sont identiques, de sorte que le mérite de cette proposition est voisin de 0.

    .
    On pose le point $H$ symétrique de $B$ par rapport à $M$, de sorte que $BCHE$ est un parallélogramme, $BC$ // $HE$, $BE$// $CH$.

    L’argumentation parodie celle donnée par Sidonie pour la figure 5.6.11. Je m’essaie à l’emploi des angles orientés.

    Le parallélogramme autorise $(HE, HC)= (BC,BE)= (BE,BA)=(DE, DC)$ (la dernière égalité puisque $A, B, D, F$ sont cocycliques, et donc $H$ sur le cercle $(c_2)$.

    .
    Ensuite : $(HE,HG)=(DG,DE)=(DG,DA)=(BC,BG)$

    .
    Puis $(HB,HG)=(HB,HE)+(HE,HG)$. A cause du parallélogramme, $(HB,HE)=(BH,BC)$. Donc, $(HB,HG)= (BH,BC)+(BC,BG)=(BH,BG)$.

    Ce qui, à nouveau, établit l’alignement $H,M,B,G$

    .
    On règle le sort à $M, F, J$ de la même façon ($K$ symétrique de $F$ par rapport à $M$, etc.)

    .
    Les figures , quoique différentes, ressortissent de la même preuve. Cependant, le point M, quand on passe de 5.6.11 à 5.6.12, n’est plus milieu du même segment. Il y a sûrement quelque chose derrière, à approfondir

    Document joint : idm5-6-12.jpg
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