Figure sans paroles #5.6.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 5.6.15

    le 22 de junio à 09:58, par Sidonie

    La figure est une partie du 5.6.14, à l’occasion de laquelle fut démontré l’existence de ce parallélogramme. Rien de nouveau donc sous le soleil.

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    • 5.6.15

      le 22 de junio à 14:44, par Hébu

      Sûrement la plus courte preuve de ce blog ! :-))

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      • 5.6.15

        le 24 de junio à 11:17, par Sidonie

        A la suite de votre dernier commentaire du 5.6.14 j’ai cherché à trouver un rapprochement entre les deux points. Sans y parvenir j’ai quelques découvertes qui peuvent s’en rapprocher. J’aurai besoin de 2 figures. La première montre que le parallélogramme s’obtient sans avoir de cocyclité.
        Deux cercles de centres O et P se coupent en A et B. M est le milieu de [OP]. Dans le cercle de centre M passant par A et B , C est diamétralement opposé à A. D est un point du cercle de centre O. E est l’intersection entre (DA) et le cercle de centre P. N est le milieu de [DE]. Le cercle OBP recoupe les cercles de centres O et P en F et G.
        Les diagonales ayant le même milieu M, AOCP est un parallélogramme. Donc (CP,CO) = (AO,AP) = (BP,BO) par symétrie autour de (OP) et alors C est sur le cercle OBP.
        Depuis le 5.6.7 on sait que le milieu de [DE] est sur un cercle passant par A et B et dont le centre est le milieu des 2 centres donc N appartient au cercle de centre M. Comme (AC) est un diamètre (CN) est la médiatrice de [DE]. Si on prend un autre point H sur ABD il donnera I sur ABE et la médiatrice de [HI] passera par C qui donne le parallélogramme.
        Une autre curiosité : l’alignement A,F,P et A,G,O.
        Dans le cercle de centre O (FB,FA) = $\frac 1 2$(OB,OA) = (OB,OP) = ( FB,FP) dans le cercle de centre M donc (FA)//(FP) d’où l’alignement A,F,P (idem pour A,G,O).
        On a aussi (AB) et (BC) perpendiculaires.

        Document joint : fsp_5.6.15_generalisation_1.jpg
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      • 5.6.15

        le 24 de junio à 11:19, par Sidonie

        Mise en place de la figure du message précédent dans un quadrilatère complet quelconque.
        On considère le quadrilatère AEDF complété par B et C. Les cercles de centres G et H passent par A,B,E et C,D,E. I est le milieu de [GH] et O est l’intersection des médiatrices de [AC] et [BD].
        A l’aide du résultat précédent on a tout de suite EGOH parallélogramme et (OM) et (EM) perpendiculaires.
        Si A,B,C et D deviennent cocycliques, O devient le centre et on retrouve une figure précédente.
        Les médiatrices de [AF] et [DE] d’une part et de [AE] et [DF] d’autre part se coupent aussi sur le cercle de Miquel (assez facile à démontrer) donc le centre d’un éventuel cercle passant par A,E,D et F est aussi sur le cercle de Miquel.
        Une curiosité : les parallèles à (AB) et (AC) passant par G et H définissent un nouveau quadrilatère complet en vert sur la figure avec les intersections K,L,N,P avec les cercles.
        Par parallélisme on a (JG,JH) = (FA,FC)
        Le cercle passant par F,A,C passe aussi par M donc (FA,FC) = (MA,MC)
        (AC) passe par E point d’intersection des cercles de centre G et H donc (MA,MC) = (MG,MH)
        D’où J est aussi sur le cercle de Miquel.
        Comme (AB)//(KL) et (CD)//(NP) on a (EK,EA)=(EB,EL) et (ED,EN)=(EP,EC)
        Donc (EK,EA)=$\frac 1 2$[(EK,EL)-(EA,EB)] et (EP,EC)=$\frac 1 2$[(EP,EN)-(EC,ED)]
        Or (EA,EB)=(EC,ED) et (EK,EL)=(EP,EN)=$\frac {\pi} {2}$ donc (EK,EA)=(EP,EC) et K,E,P sont alignés.
        E est donc le sixième sommet du quadrilatère vert qui a donc les mêmes points E,G,H,I,M,O que le noir.

        Document joint : fsp_5.6.15_generalisation_2.jpg
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      • 5.6.15

        le 24 de junio à 11:21, par Sidonie

        La figure du premier message a besoin de 2 cercles sécants pour produire un parallélogramme , avec un quadrilatère complet on a 4 cercles passant par le point de Miquel soit 6 paires de cercles sécants 2 à 2. Ce qui donne 6 parallélogrammes ayant pour sommets un des 6 sommets du quadrilatère , deux centres et un dernier point, intersection de médiatrices bien choisies, les 3 derniers sommets sont sur le cercle de Miquel.
        La figure jointe montre ces 6 parallélogramme chacun d’une couleur différente.
        En noir on a le quadrilatère AFDE complété par B et C, le cercle de Miquel et les 4 centres G,H,I et J

        Document joint : fsp_5.6.15_generalisation_3.jpg
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  • 5.6.15

    le 24 de junio à 17:30, par Hébu

    Il me faut travailler sérieusement ces figures ! Il y a de quoi attraper le tournis, tant ces figures sont riches. En même temps, j’ai du mal à préciser ce qu’il faudrait trouver pour «comprendre» ces particularités et les relations entre ces deux points, que je mentionnais.

    Je vais donc me plonger dans ces schémas

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